Globale maxima berekenen
Hallo
Ik vraag me af of ik een juist inzicht heb omtrent globale maxima...
Als men vraagt of de functie een globaal maximum/minimum bereikt in een punt a, mag ik dit dan als volgt doen?
Ik bereken eerst de Taylorreeksontwikkeling rond het gegeven punt a. Je weet dat a een kritiek punt is van de functie, dus f'(a) is gelijk aan nul. Dus in je taylorreeksontwikkeling valt die term weg. Stel nu dat de functie afgeleiden heeft tot de tweede orde, dan heb je nog staan :
f(x) = f(a) + (f"(c).(x-a)2)/2!
Nu zijn er twee mogelijkheden
1) f(x) $\le$ f(a) als f"(c)(x-a)2/2! $\le$ 0
2) f(x) $\ge$ f(a) als f"(c)(x-a)2/2! $\ge$ 0
Want die eerste uitdrukking is toch telkens de definitie voor een globaal max/min als dit geldt voor alle x element van je verzameling?
Klopt dit?
Alvast bedankt!!
Julie
Student universiteit België - woensdag 13 januari 2016
Antwoord
Het klopt niet helemaal.
Je moet vermelden dat $c$ tussen $a$ en $x$ ligt en ook nog afhankelijk is van $x$.
Nu gelden equivalenties 1) en 2), maar daarmee is niet gezegd dat in het geval van 1) ook geldt dat $f(x)\le f(a)$ voor alle $x$; als $f''$ een beetje netjes is (continu bijvoorbeeld) dat hebben $f''(c)$ en $f''(a)$ voor $c$ dicht bij $a$ hetzelfde teken en als dus $f''(a)$<$0$, dan is $f(a)$ een lokaal maximum, niet noodzakelijk globaal (denk aan $f(x)=1-2x^2+x^4$ met $a=0$).
Je hebt gelijk als geldt dat $f''(c)$ voor alle $c$ hetzelfde teken heeft.
kphart
woensdag 13 januari 2016
©2001-2024 WisFaq
|