Omtrek en opp van regelmatige veelhoek

kan iemand mij helpen om te bewijzen dat de omtrek van een regelmatige veelhoek gelijk is aan 2.n.r.sin 180/2 en de opp. 2.r².sin180/n.cos180/n

Nick S
2de graad ASO - zaterdag 1 december 2012

Antwoord

Je verdeelt de veelhoek in n gelijkbenige driehoeken. Noem één zo'n driehoek ABM waarbij M het middelpunt is van de cirkel die om je n-hoek getekend kan worden.
Bij M ontstaat een hoek van 360/n graden. Teken nu in driehoek ABM de hoogtelijn (tevens bissectrice) vanuit M naar het midden van AB.
De hoek bij M is nu gehalveerd en wel in twee delen van 180/n graden.
Gebruik nu sin(180/n) = 1/2AB / AM = 1/2 AB/ r
Conclusie: 1/2 AB = r. sin(180/n) en dus AB = 2 . r . sin(180/n)
En daar je n van die stukken met de lengte AB hebt, volgt de omtrek nu als vanzelf.

Probeer de oppervlakte nu zelf te vinden. Daarvoor heb je de hoogte in driehoek ABM nodig en als je naar ge gegeven formule kijkt, dan zie je dat er nu ook een cosinus in het verhaal moet komen.

MBL
zaterdag 1 december 2012

©2001-2024 WisFaq