Oplossen van driehoeken

Het is een vraagstuk op basis van het oplossen van driehoeken.
Eerst stelt men dat het paaltje ( 2m hoog ) verticaal staat en een schaduw werpt van 1,25m. Hierbij vraagt men de hoek a van de zon, die is makkelijk te berekenen met tangens
hoek a = 57°59'40,62''

Het tweede deel van het vraagstuk vormt echter een probleem:

"Het paaltje word schuin geduwd naar zijn schaduw toe, tot het een hoek b met de grond maakt. Druk de lengte van de schaduw uit in fuctie van de hoeken a en b. Voor weleke ombuiging is de schaduw het langst?"

Ik heb alle andere vraagstukken kunnen oplossen, dit is de laaste van de reeks en ik geraak er maar niet aan uit.
Wat ik me afvraag is dat die hoek a toch verandert, al is het bijna nihil omdat die afstand van het paaltje niets is in vergelijking met de afstand tot de zon, maar die verandert toch? En volgens mij is de schaduw het langst als er een rechthoekige driehoek word gevormd.

Wie kan mij helpen? Ik vroeg het al aan mijn oudere broer die handelswetenschappen volgt en die weet het ook niet.

Jorn V
Student Hoger Onderwijs België - woensdag 21 juli 2010

Antwoord

Laten we de hoogte van het paaltje h noemen, en de lengte van de schaduw s.
Verder noemen de we hoek die de zon maakt met de horizontaal, a. en de hoek die het paaltje met de horizontaal maakt, b. Als het paaltje rechtop staat, is b dus 90°.
Nu introduceren we nog een hoek: c. c is de hoek die de zonnestraal maakt met de top van het paaltje. Dus c=180°-a-b

We trekken nou de sinusregel uit de kast:
h/sin(a) = s/sin(c)
Dus s= (sin(c)/sin(a)).h = (sin(180°-a-b)/sin(a)).h

Wegens de gelijkheid sin(x-y)= sinx.cosy - cosx.siny kunnen we dit herschrijven als:

s={(sinb.cosa+cosb.sina)/sina}·h = (sinb/tana + cosb)·h
(ga na.)

Nu is s een functie van hoek b: s=s(b)
en moeten we b zo variëren dat s maximaal wordt.
Ofwel er moet gelden ds/db=0
dus (cosb/tana - sinb)·h=0
Dit kan alléén als cosb/tana = sinb ofwel als tanb=(1/tana)
de hoek b waar we naar op zoek zijn, kunnen we dus schrijven als
b=arctan(1/tana)
=arctan (1.25/2)
= 32°

(want tana = h/s = 2,00/1,25 wisten we nog)

vriendelijke groeten,

martijn

mg
woensdag 21 juli 2010

Re: Oplossen van driehoeken

©2001-2024 WisFaq