\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Vraagje over goniometrische functie

hallo,

ik had een vraagje over een voorbeeld die ik tegen kwam in dit website over het intergaal van een goniometrische functie:

de functie :

òsin(x).cos(x)dx= òsin(x)d (sin(x))=ò= 1/2sin2(x).

Mijn vraag is nu, waarom werd alleen maar één sin(x) geprimitiveerd?.

En ik had nog een vraagje:

een functie: 3cos(x)/(2+sin(x)).
Ik moest primitiveren, kwam dit uit: 3cos(x) Ln(2+sin(x))
Maar in mijn antwoordenboek stond: 3Ln(2+sin(x))

Maar ik snap het niet echt, hoe is het precies gedaan?

alvast bedankt
gr.

anna
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 4 april 2010

Antwoord

1) Er wordt hier gebruik gemaakt van de zogeheten substitutiemethode. Als je sin(x) = t stelt, dan is cos(x)dx = dt en daarmee wordt de gegeven integraal ineens een stuk simpeler, namelijk òt.dt.
Deze integraal leidt tot de primitieve 1/2t2 en door t weer te vervangen door sin(x), krijg je het resultaat F(x) = 1/2sin2(x).
Het kan ook anders: je kent de formule sin(2x) = 2sin(x)cos(x). De functie die je integreren moet is dan dezelfde als f(x) = 1/2sin(2x) en dús is de primitieve direct gevonden: F(x) = -1/4cos(2x).
Probeer eens te laten zien dat de twee primitieven die je nu hebt in feite dezelfde zijn.

2) Als je nu t = 2 + sin(x) stelt, dan volgt daaruit dt = cos(x)dx en dús 3cos(x)dx = 3dt.
De gegeven integraal wordt daarmee ò3/tdt met als primitieve 3ln|t| en dus 3ln|2+sin(x)|
De modulusstrepen kun je hier overigens achterwege laten, want 2 + sin(x) is voor elke x tóch positief.

MBL
zondag 4 april 2010

©2001-2024 WisFaq