Goniometrische vergelijking

beste wisfaq

ik heb de volgende vergelijking
sin(2x)= tang (x)
het antwoord moet zijn x= K . p k= element uit z
of 1/4p + k. 1/2p

ik snap niet hoe men daarop komt. ik kwam beetje op het volgende zelf.
sin (2x) = 2 sin ( x) cos (x) = sin (x) / cos (x)
ik vermenigvuldig beide kanten eerst met cos (x) dan krijg ik 2 sin (X) . cos^2 (x) = sin (x) dan deel ik beide kanten door sinus (x) dan krijg ik.
2 cos^2 (x) = 1 vervolgens delen door 2
cos ^2 ( x) = 1/2 daaruit volgt
cos ( x) = 1/2 Ö2 of cos x = - 1/2Ö2
x = 1/4p of - 1/4p

ditkomt dat wel beetje in de buurt, maar is zeker niet het antwoord wat het zou moeten zijn. aub wat uitleg hierover, met name over die periodes. bij voorbaat dank.

jan he
Student hbo - vrijdag 14 november 2008

Antwoord

Als sin(x) gelijk is aan 0, kan je de deling niet maken en klopt de vergelijking toch. Je moet dus eerst het geval sin(x)=0 beschouwen en de oplossingen die daarbij horen bepalen voor je de schrapping doet.

Daarna moet inderdaad (A) cos(x)=Ö2/2 of (B) cos(x)=-Ö2/2. De periodiciteit van cos(x) is 360°. Kijkend naar de goniometrische cirkel zie je als oplossingen:

(A) x = 45° + k.360° of x = -45° + k.360°
(B) x = 135° + k.360° of x = -135° + k.360°

Als je ze allemaal tegelijk op de goniometrische cirkel tekent, zie je echter dat hoewel de periodiciteit van elke deeloplossing 360° is, je ze allemaal SAMEN kan beschrijven in een bondigere vorm:

x = 45° + k.90°

hoewel de "langere" beschrijving van de oplossing(en) natuurlijk zeker niet fout is!

vrijdag 14 november 2008

©2001-2024 WisFaq