\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Vergelijking met logaritme van complexe getallen

Beste Wisfaq,

In het kader van complexe getallen wordt er gevraagd de volgende vergelijking op te lossen:

Log(z2 − 1) = pi/2

Verder weet je dat Log(z) = Log|z| + i Arg(z)
Wat is de meest efficiente manier om deze vergelijking op te lossen?

Ruud
Student universiteit - vrijdag 26 september 2008

Antwoord

Dag Ruud,

Uit Log(z)=Log|z|+ i Arg(z) zie je dat Log(z) bestaat uit een reëel deel (namelijk Log|z|) en een imaginair deel (namelijk Arg(z)). Als je dat toepast op de opgave, dan merk je dat Log(z2-1)=ip/2 als reëel deel nul heeft (dus log|z2-1|=0) en als imaginair deel p/2, dus Arg(z2-1)=p/2.

Uit dat eerste haal je dat |z2-1|=1 (dat kan je nu zonder problemen doen omdat die |z2-1| een positief reëel getal is!). En het argument van z2-1 ken je nu ook, dat is p/2. Dus van het complexe getal z2-1 ken je zowel modulus als argument, en je besluit dat
z2-1=1*ei(p/2) dus z2-1=i dus z2=1+i.

Nog even oplossen naar z (daarvoor mss eerst die 1+i nog in exponentiële notatie omzetten) en je bent er.
NB in deze opgave had je ook direct kunnen zien dat z2-1=i, aangezien eip/2=i. Maar door met log|z| en arg(z) te werken kan je wel elke soortgelijke oefening aanpakken.

Groeten,
Christophe.

Christophe
zaterdag 27 september 2008

©2001-2024 WisFaq