Drievoudige integratie

Hallo leden,

Ik zit vast bij een wiskunde vraag met een drievoudige integraal. Je moet de integraal uitrekenen over het integratiegebied G: {(x,y,z uit de R^3) | x²+y² <= 1 en -1 <= z <= 1}. Dit gebied is dus een cilinder rond de z as, met een straal van 1 t.o.v. de z as en een hoogte van -1 t/m 1.

De integraal die berekent moet worden luidt als volgt (f = integratieteken):

fff over G van(z²x² + x²y²)dxdydz.

Omdat G een cilinder is, is het handig om over te gaan op cilinder coordinaten, dat levert:

x = r*cos(phi)
y = r*sin(phi)
z = zeta

De schaalfactor is bij cilindercoordinaten gelijk aan r. Dit levert dus als integraal:

f(van r = 0 t/m 1) f (van zeta = -1 t/m 1) f(van phi = 0 t/m 2*Pi) van: r*(zeta²*r²*cos²(phi) + r²*cos²(phi)*r²*sin²(x)).

Alleen nu loop ik dus vast. Hoe is deze integraal ooit te berekenen? (zonder 3 uur aan het primitiveren te zijn ). Het lukt me niet om sinussen / cosinussen tegen elkaar weg te strepen (kwadraat regel = 1), of door het veranderen van de integratievolgorde waardoor het misschien makkelijker wordt. Kan iemand mij vertellen hoe ik nu verder moet?

Sven
Student universiteit - zaterdag 19 oktober 2002

Antwoord

Hoi,

We noemen je integraal I =
fff over G van(z2x2 + x2y2)dxdydz=
f(van x = -1 t/m 1) f (van y = -sqrt(1-x2) t/m -sqrt(1-x2)) f(van z = -1 t/m 1) van: (z2x2 + x2y2)dxdyd

Het vervelende is dus dat het interval voor y waarover we integreren afhankelijk is van x. Je overgang naar cilindercoördinaten lost dit ongemak inderdaad op en daarom is de substitutie zinvol.

Een elementair volume dxdydz in carthesiaanse coördinaten komt overeen met een elementair cilinderschilletje r.dphi.dr.dzeta.

Zodat: I=
f(van r = 0 t/m 1) f (van zeta = -1 t/m 1) f(van phi = 0 t/m 2*Pi) van: r*(zeta2*r2*cos2(phi) + r2*cos2(phi)*r2*sin2(phi)).dphi.dr.dzeta

En nu zijn de intervallen voor r, zeta en phi wel onafhankelijk en kunnen we stukken van de integrand buiten de intergraaltekens brengen en de intergralen gepast verwisselen van plaats.

I=
[f (van zeta = -1 t/m 1) zeta2. dzeta].[f(van r = 0 t/m 1) r3.dr].[f(van phi = 0 t/m 2*Pi)cos2(phi) .dphi]
+
[f (van zeta = -1 t/m 1)dzeta].[f(van r = 0 t/m 1) r5.dr].[f(van phi = 0 t/m 2*Pi)cos2(phi)*(1-cos2(phi)).dphi]

I is nu dus geschreven als een som van producten van enkelvoudige (en tamelijk eenvoudige) integralen.
Bedenk van cos2(phi)=(1+cos(2.phi))/2 en dat je via partiële integratie de integraal van cos4(phi) kan herleiden tot een integraal in cos2(phi).

Dit alles moet je in min dan 3u kunnen, niet?

Groetjes,
Johan

andros
maandag 21 oktober 2002

©2001-2024 WisFaq