Niet verticale aymptoten

De vraag luidt: Zoek de horizontale of schuine asymptoot en van y= (x-5sin(x))/(x+3sin(x))
Ik begin dus met mijn w te bepalen:
w = lim (x-5sin(x))/((x+3sin(x))x)
x-¥
De limiet van goniometrische functies in het oneinde bestaan toch helemaal niet? Hoe kan je deze vraag dan beantwoorden. Volgens mijn grafiek zou het om een horizontale asymptoot gaan van y=0. Maar als je de sinussen weg laat en gewoon rekent met de x-waarden bekom je een horizontale asymptoot van y=1

Katink
Student Hoger Onderwijs België - dinsdag 13 december 2005

Antwoord

Beste Katinka,

De horizontale asymptoot zal inderdaad gelegen zijn op y = 1.
Zoals je zelf al aanvoelt zullen die sinussen blijven schommelen, maar ze zijn wel begrensd (namelijk tussen -1 en 1). Ze worden dus gedomineerd door de termen in x in teller en noemer, deze zijn immers niet begrensd. De schommelingen zullen in het oneindige dan ook steeds van kleiner 'belang' zijn (en grafisch dus ook echt kleiner worden!).

Vandaar dat we in de limiet hier enkel de verhoudingen van de coëfficiënten moeten beschouwen van de hoogste graden in x, in teller en noemer. Hier is dat zowel in teller als noemer gewoon x, dus de verhouding van hun coëfficiënten is precies 1, vandaar die horizontale asymptoot.

Dit geldt zowel op -¥ als op ¥ zodat er geen schuine asymptoten zulen zijn.

mvg,
Tom

dinsdag 13 december 2005

©2001-2024 WisFaq