\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Produktformule van Euler

De volgende stelling moet ik gebruiken om fi (60) te berekenen. (Ik weet niet hoe ik het symbool van fi kan invoeren)

De produkt voor de fi-functie van Euler.
Zij mÎZ, m2, met priemontbinding
m = n
Õp(i) ^a(i) waarbij a(i) 0 voor
i=1

alle i. Dan geldt:

fi(m) = n
Õ p(i)^a(i0-1 · (p(i) -1)
i=1

Ik begrijp de tekens in de priemontbinding niet (oa Õ), wat wordt er bedoeld en hoe kan ik dit gebruiken?

BVD

Tjen
Student hbo - maandag 14 november 2005

Antwoord

Dag Tjen,
die notatie met een Õ betekent het product van een aantal factoren net zoals de notatie met een å een som van een aantal termen betekent. Zo is
Õ6i=1i=1*2*3*4*5*6=720(=6!).
Zoals je weet kun je ieder geheel getal groter dan 1 op een unieke manier schrijven als een product van priemfactoren. Zo is 720=24*32*51.
De eerste notatie hierboven is daar een kortschrift voor: in het geval van n=720 geldt dus p(1)=2 en a(1)=4, p(2)=3 en a(2)=2, p(3)=5 en a(3)=1.
De getallen p(i) hoeven geen opvolgende priemgetallen te zijn. Bijvoorbeeld 56=23*71. In dit geval is p(1)=2 en p(2)=7.

De tweede formule vertelt dan hoe je de j-functie van Euler kunt berekenen als je de priemontbinding hebt gevonden. Voor iedere priemfactor p(i) verlaag je de exponent met 1 en vermenigvuldigt met p(i)-1.
Voor n=720=24*32*51 geldt dus j(720)=24-1*(2-1)*32-1*(3-1)*51-1*(5-1)=23*1*31*(2)*50*(4)=192.

Bij jouw opgave: bereken j(60), moet je dus eerst een priemontbinding van 60 maken: 60=22*3*5.
Dus j(60)=2*(2-1)*(3-1)*(5-1)=2*2*4=16.
Dat klopt want er zijn precies 16 getallen kleiner dan 60 die relatief priem zijn t.o.v. 60 (als je 1 meetelt):
1,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,49!!!!,53,59.




maandag 14 november 2005

©2001-2024 WisFaq