Snijpunt twee goniometrische functies

Bij het afgelopen VWO wiskunde B examen (oude stijl) was er vraag waar ik niet geheel uitkwam.

Gegeven f(x)= (1/cos²x)-1 en g(x)= 4sin²x

Van deze twee functies moet het snijpunt bepaald
met hierbij 0 < x <.5

De oplossing zover ik hem heb:

(1/cos²x)-1 = 4sin²x
(1/cos²x)-1 = 4-4cos²x
1/cos²x = 5-4cos²x
5cos²x-4cos^4 = 1
4cos^4-5cos²x+1 = 0

Hierna loop ik vast. Volgens het antwoordmodel klopt de laatste regel. Ik ga er dus vanuit dat het ik het tot hier toe goed gedaan heb. De volgende regel in het antwoord model is

cos²x=1 of cos²x=¼
in a geldt x = ½

Ik zie niet hoe men op bovenstaande is gekomen. Zie ik een reken regel over het hoofd, of zie ik een bepaalde vereenvoudiging niet?

Alvast bedankt voor de hulp!

Jesse

Jesse
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 7 juli 2002

Antwoord

Je zat al heel warm!

ga eens uit van je laatste regel
4cos⁴x - 5cos²x + 1 = 0
en stel eens dat y=cos²x

dan staat er dus:

4y² - 5y + 1 = 0
en dit is een "doodordinaire" vierkantsvergelijking, op te lossen mbv de abc-formule.

y_1,2 = (-b±D)/2a
= (5 ± 3)/8
Þ y₁=1 Ú y₂=¼

ofwel cos²x=1 Ú cos²x=¼ Þ
cosx=±1 Ú cosx=±½

en omdat het domein is <0, /2>, is
cosx=±1 alsook cosx=-½ géén optie.
op dit domein is er alleen een oplossing te vinden voor cosx=+½, dus x= /3

groeten,
martijn

mg
zondag 7 juli 2002

©2001-2024 WisFaq