\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Oppervlakte berekenen

Ik heb problemen met de volgende opgaven, ik heb de oefeningen nog eens hermaakt maar ik weet niet waar het schoentje wringt?

(1)
Bepaal een rechte L door de oorpsrong die het gebied tussen y=-x2+6x en x-as in twee gebieden verdeelt met dezelfde oppervlakte.


f(x)=-x2+ 6x en y=kx
totale oppervlakte = 36 (via integralen berekent tussen x=0 en x=6 )

-x2+6x-kx=0
$\Leftrightarrow$ x=0 v x=6-k
We hebben eerst de oppervlakte onder de rechte van 0 tot (6-k) Dit is een driehoek dus:
([6-k)(6-k)]/2 (=0pp I)

Dan is er nog een stukje over van (6-k) tot 6, dit is een stukje van de parabool, oppervlakte II

oppII= (6 -$>$ 6-k)$\int{}$(-x2+6x)dx

Dus: oppI + oppII= gehalveerde opp
$\Leftrightarrow$ ([6-k)(6-k)]/2 + 6 -$>$ 6-k)$\int{}$(-x2+6x)dx = 18
$\Leftrightarrow$ 18+ 1/2k2 -6k - (63/3 - (6-k)3/3) + 6(62/2 - (6-k)2/2 ) = 18
$\Leftrightarrow$ -k3+ $\frac{7}{2}$k2- 6k + 144=0
$\Leftrightarrow$ k=6,238.... ? (ik heb via mijn grafische rekenmachine het nulpunt van de bovenstaande vergelijking trachten te bepalen)

Wat deed ik fout? De juiste oplossing zou zijn:
rico L=-33√4 +6

(2)
Bepaal een rechte L evenwijdig met de X-as, die het egbied tussen y= -x2+9 en de X-as in twee gebieden verdeelt met dezelfde oppervlakte.


Ik deed het volgende:

f(x)= -x2 +9 en y=k
totale oppervlakte = 36 (via integralen berekent tussen x=-3 en x=3 )

-x2 +9 = k
$\Leftrightarrow$ x= +/- √ (9-k)

De grafiek van de functie is volledig symmetrisch dus het volstaat de ene helft te berkenen en vermenigvuldigen met 2.

We bereken eerst de oppervlakte onder de rechte tussen x=0 en x=√ (9-k)

Dit is een rechthoek dus oppervlakte I = k.√ (9-k)

Het tweede gedeelte van de oppervlakte gaat van
x=√ (9-k) tot x=-3 onder de parabool dus.

Dit berekenen we a.d.h.v.e integraal:

(√ (9-k) -$>$-3)$\int{}$ (-x2+9)dx

Dus, de halve oppervlakte =

2·oppI + 2·oppII = 18
$\Leftrightarrow$ 2k√+ 2·(- (-√(9-k)3)/3 + (-3)3/3 - 9√(9-k) + 27 ) = 18

$\Leftrightarrow$ (2k + 6 -2/3k - 18)√(9-k) +18=0
$\Leftrightarrow$ (4k - 12)√(9-k)=-18
$\Leftrightarrow$ √(9-k) = -18/($\frac{4}{3}$k-12)
$\Leftrightarrow$ -16/9 k3 - 16k2 - 432k + 972 = 0
$\Leftrightarrow$ k= 2,057.... ? (ik heb opnieuw via mijn grafische rekenmachine het nulpunt van de bovenstaande vergelijking trachten te bepalen)

De juiste oplossing zou moeten zijn: y= 9- (9/2)3√2 ?

Kan iemand me hiermee verder helpen aub?

Alvast bedankt...

Veerle
3de graad ASO - zaterdag 2 april 2005

Antwoord

q36229img1.gifHet is handiger de 'bovenste helft' te nemen. De oppervlakte van het gele stuk is inderdaad 18. Je kunt dan met de rechter grens x=6-k de oppervlakte van het gele stuk uitrekenen... en daar komt 18 uit. Je krijgt zoiets als:

q36229img2.gif

Bij voorbeeld 2 kan je kijken naar de integraal van -x2+9 met de grenzen -Ö(9-x) en Ö(9-x). Je krijgt dan:

q36229img3.gif

Probeer 't maar eens...


zaterdag 2 april 2005

©2001-2024 WisFaq