E - machten

Hallo,
Ik heb een vraag...

Waarom geldt er bij complexe e-machten..
e ^ix = cos x + i sin x?
en niet bijvoorbeeld e ^ix = cos x
of e^ix= cos x - i sin x?

Zou iemand mij dit kunnen vertellen?

Alvast bedankt

perik
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 20 maart 2005

Antwoord

e ^ix = cos x geldt niet want links staat een getal dat complex kan zijn, en rechts staat altijd een reëel getal (voor x reëel)

e^ix= cos x - i sin x geldt niet omdat als je voor x=
p/2 neemt dan is het linkerlid gelijk aan i en het rechterlid gelijk aan -i, wat niet kan.

Waarom geldt nu wel dat e^ix = cos x + i sin x
Wat hier staat is een identiteit, dit wel zeggen dat voor elke x de gelijkheid moet gelden.
e^(ix) is het complex getal met modulus 1 en argument x (de hoek tussen de reële as en het complexe punt), als je dit getal uitdrukt in poolcoordinaten, dan krijg je voor de reële component cos(x) en voor de imaginaire component sin(x). Modulus=1 is dan reeds voldaan door de hoofdidentiteit van de goniometrie.

Koen

zondag 20 maart 2005

©2001-2024 WisFaq