Limiet exponentiële functie

Hoi,

zouden jullie wat uitleg en een algemene methode kunnen geven voor volgende opgave?

lim(x-+¥) (cos(2/x))^(2x²)


dank u

Freder
Student Hoger Onderwijs België - dinsdag 18 januari 2005

Antwoord

Hallo Frederik,

Bedenk dat f(x)^g(x) = e^ln[f(x)^g(x)] = e^[g(x) ln(f(x))]
Dus als je de limiet van (cos(2/x))^(2x^2) wil berekenen, is dat hetzelfde als de limiet van e^[(2x^2) ln(cos(2/x))]
= e^ lim(x®¥) [(2x^2) ln(cos(2/x))]

Nu moet je nog de limiet van die exponent berekenen. Als je eens x=1000 invult zie je meteen dat die limiet -4 zal moeten uitkomen. De berekening van deze limiet kan je denk ik het makkelijkst met de l'H^opital.

Daarvoor moet je die exponent eerst als een breuk schrijven, dat gaat het gemakkelijkste als volgt:
2ln(cos(2/x)) / (1/x^2)
Hopital geeft: 2 * [1/cos(2/x)] * (-sin(2/x)) * (-2/x^2) / (-2/x^3)
(de kettingregel kan je dus maar beter goed beheersen)
Vereenvoudigen:
-2 tg(2/x) / (1/x)
Nog eens Hopitallen:
-2 * (1/cos^2(2/x)) * (-2/x^2) / (-1/x^2)
Vereenvoudigen:
-4/cos^2(2/x)
En x is oneindig invullen levert dan -4/1 = -4, zoals zou moeten.
Let op dat het antwoord dan natuurlijk wel e^(-4) is...

Groeten,
Christophe.

Christophe
dinsdag 18 januari 2005

©2001-2024 WisFaq