Zwaartepunt in leeglopend cilindrisch vat

Bij een cilindrisch vat (d= 400mm en H=600mm) dat helemaal gevuld is met water, ligt het zwaartepunt in het midden van de hoogte. Alt het vat aan de onderzijde leeg gaat lopen dan zakt het zwaartepunt - van het vat en water gezamelijk -mee naar beneden tot een zeker minimum, want als het vat helemaal leeggestroomd is dan is het zwaartepunt weer terug in het midden van de hoogte.
Wat is de minimale hoogte van het zwaartepunt?

René v
Student hbo - dinsdag 17 februari 2004

Antwoord

Grappig!
Even een paar aannames: ik weet niet of het noodzakelijk is, maar ik maak het voor mezelf wat gemakkelijker.
Het vat staat rechtop (grondvlak en bovenvlak zijn dus cirkels)
De dikte van grond- en bovenvlak zijn verwaarloosbaar.
De massa van het vat is homogeen verdeeld over de hoogte.
Ik noem tijdstip t=0 het begin (vat is vol), en tijdstip t=1 het eind (vat is leeg). Voor het gemak neem ik de uitstroomsnelheid constant: niet echt realistisch, maar het maakt voor het antwoord niet uit.

Ik kies de oorsprong van het assenstelsel in het middelpunt van het grondvlak van het vat.
mv is de massa van het vat.
hv is de hoogte van het vat.
mw_t is de massa van het water in het vat op tijdstip t
hw_t is de hoogte van het water in het vat op tijdstip t.

Het zwaartepunt ligt dan op hoogte:
z = ¹/₂(mv·hv + mw_t·hw_t)/(mv+mw_t)

Als het vat vol is, is hv=hw₀, en is z = ¹/₂hv (= ¹/₂hw₀)
Als het vat leeg is (tijdstip t=1), is
hw₁ = 0 en mw₁ = 0, dus is z = ¹/₂hv

Op tijdstip t geldt:
hw_t = hv·(1-t)
mw_t = mw₀·(1-t)
Dit invullen in z geeft een functie van t.
Differentiëren en afgeleide gelijkstellen aan 0 geeft twee waarden voor t. Een van deze waarden hoort bij het minimum van z.

NB: het kan ook zonder differentiëren!
Je kunt namelijk als volgt redeneren.

De minimale waarde van het zwaartepunt krijg je, als het zwaartepunt precies ligt op het vloeistofoppervlak!.

Immers: als het zwaartepunt onder het vloeistofoppervlak ligt, en je laat het niveau iets zakken, komt er minder gewicht boven het zwaartepunt, dus dan zakt ook het zwaartepunt.

Omgekeerd: als het zwaartepunt boven het vloeistofoppervlak ligt, en je laat het niveau iets stijgen, dan komt er meer gewicht onder het zwaartepunt, dus zakt ook het zwaartepunt.
In bovenstaande vergelijking kun je dus z gelijkstellen aan hw_t om het minimum te vinden.

groet,

dinsdag 17 februari 2004

©2001-2024 WisFaq