Moeilijke limiet

Ik vind niet hoe deze limiet uit te werken : vooral door die natuurlijke logaritmen

lim[ln(ln(1+x⁴))/ln(ln(1+x²)),x®0].

Yvonne
Student Hoger Onderwijs België - dinsdag 13 januari 2004

Antwoord

Hoi,

Neem f(x)=ln(ln(1+x⁴)) en g(x)=ln(ln(1+x²)). Je wil L=lim(f(x)/g(x),x®0) berekenen.

Omdat lim(f(x),x®0)=lim(g(x),x®0)=0 mogen we de l'Hôpital toepassen: L=lim(f'(x)/g'(x),x®0).

Welnu:
f'(x)=
1/ln(1+x⁴).[ln(1+x⁴)]'=
1/ln(1+x⁴).1/ln(1+x⁴).[1+x⁴]'=
4x³/ln²(1+x⁴)
en
g'(x)=
1/ln(1+x²).[ln(1+x²)]'=
1/ln(1+x²).1/ln(1+x²).[1+x²]'=
2x/ln²(1+x²)

Dus is f'(x)/g'(x)=2x².ln²(1+x²)/ln²(1+x⁴)... Nog altijd een 0/0 geval voor x®0, maar de buitenste laag van ln() is er toch af.

We noemen M=lim[x.ln(1+x²)/ln(1+x⁴),x®0], dan is L=2.M².

We hernoemen f(x)=x.ln(1+x²) en g(x)=ln(1+x⁴), zodat:
f'(x)=1.ln(1+x²)+x.1/(1+x²).2x=ln(1+x²)+2x²/(1+x²) en g'(x)=4x³/(1+x⁴).
Ook hier is lim[f'(x)/g'(x),x®0] een 0/0 geval en kunnen we de l'Hôpital nog eens toepassen... Veel rekenen, maar het gaat er wel op vooruit: de ln(x) worden telkens verdreven en uiteindelijk krijgen we een rationale vorm waarvan we de limiet zeker kunnen berekenen. Vanaf hier laat ik het aan jou

Groetjes,
Johan

andros
dinsdag 13 januari 2004

©2001-2024 WisFaq