Limiet met de l`Hôpital?

Kan u me helpen bij het berekenen van volgende limiet:
lim (1-cos(q.x).cos^p(x))/sin²(x) voor x-0 .

Ik weet niet hoe je die limiet kunt uitrekenen waarbij een onbekende q nog instaat. Bij het uitwerken via l'Hospital blijf je steeds in teller en noemer met een product van een sin(x) en cos(x) zodat je steeds 0/0 uitkomt?

Bedankt

Yvonne
Student Hoger Onderwijs België - dinsdag 13 januari 2004

Antwoord

Hoi,

Inderdaad een duidelijk geval van 0/0. Weer met de l'Hôpital dus.
f(x)=1-cos(q.x).cos^p(x)
g(x)=sin²(x)

f'(x)=
-[cos(q.x)]'.cos^p(x)-cos(q.x).[cos^p(x)]'=
q.sin(q.x).cos^p(x)-cos(q.x).p.cos^p-1(x).[cos(x)]'=
q.sin(q.x).cos^p(x)+p.cos(q.x).cos^p-1(x).sin(x)
en
g'(x)=2.sin(x).cos(x)

Zodat
f'(x)/g'(x)=
q/2.sin(q.x)/sin(x).cos^p-1(x)+p/2.cos(q.x).cos^p-2(x)=

Je rekent makkelijk na dat lim[sin(q.x)/sin(x),x®0]=q, de rest van de limiet is braaf...

Het resultaat is dus: q/2.q.1+p/2.1.1=(q²+p)/2

Groetjes,
Johan

andros
dinsdag 13 januari 2004

©2001-2024 WisFaq