Limieten

Hallo,
Kunnen jullie me helpen met de volgende opgave?
Gegeven de rij functies f1,f2,f3...
Voor n=1,2,3,... is fn gedefinieerd door:
fn(x)=(²log(x-2))n (voor alle duidelijkheid n staat hier schuin boven het laatste haakje.
Bij deze rij functies hoort de reeks s.
Nu wordt het volgende gevraagd:
a)-voor welke waarden van x is s convergent (zelf dacht ik aan x2).
b)-bepaal voor deze waarden de limiet van s.

Bij voorbaat dank voor jullie hulp.

Joke

Joke
Leerling mbo - dinsdag 29 juli 2003

Antwoord

De reeks is een meetkundige reeks. Die convergeert enkel als de absolute waarde van de reden kleiner is dan 1. Dus

|²log(x-2)| 1
-1 ²log(x-2) 1
1/2 x-2 2
2,5 x 4

De reekssom is (eerste term)/(1-reden), dus

S = ²log(x-2) / [1-²log(x-2)]

Merk op dat de reeksom ook zinvol is voor waarden buiten het hier boven genoemde interval, maar dat betekent niet dat de reeks er convergeert.

Vergelijk het met de reeks

1+x+x²+x³+... = 1/(1-x)

Het linkerlid convergeert enkel als |x|1, hoewel het rechterlid ook voor bijvoorbeeld x=5 zinvol is.

dinsdag 29 juli 2003

©2001-2024 WisFaq