\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 91683

Re: Een kegelvormige fles omkeren

Zou u de volledige uitwerking kunnen weergeven? Ik begrijp het nog niet goed.

karel
2de graad ASO - woensdag 26 mei 2021

Antwoord

Dat is nog niet zo eenvoudig.

Ik heb het puntje dat links ontbreekt voor een volledige kegel de hoogte $h$ gegeven. Het plan is dan om de inhoud links uit te drukken in $h$. Vervolgens kan je dan de inhoud aan de rechter kant uitdrukken in $h$ en $D$, waarbij $D$ dan de diameter is van het ondervlak van het blauwe gedeelte.



Ik gebruik daarbij de gegeven formule:

$
\eqalign{I = \frac{1}
{3}\pi h\left( {R^2 + Rr + r^2 } \right)}
$

Vervolgens kan je dan proberen de verschillende 'waarden' voor de variabelen te vinden.

Links
Gegeven zijn $R=6$ en $r=4,5$. De vraag is nog wat de hoogte van het blauwe gedeelte is. Je kunt laten zien dat dit $3h$ moet zijn. Ga maar na!

Je kunt de inhoud links uitdrukken in $h$:

$
\eqalign{I_{links} = \frac{1}
{3}\pi \cdot 3h\left( {6^2 + 6 \cdot 4\frac{1}
{2} + \left( {4\frac{1}
{2}} \right)^2 } \right) = \frac{{333}}
{4}\pi h}
$

Rechts
Gegeven zijn $\eqalign{R=\frac{1}{2}D}$ en $\eqalign{r=\frac{1}{2}}$. Op dezelfde manier als links kun de hoogte van het blauwe deel uitdrukken in $h$. Dat wordt dan $
\left( {D - 1} \right)h
$.

Invullen geeft:

$
\eqalign{I_{rechts} = \frac{1}
{3}\pi \cdot \left( {D - 1} \right)h\left( {\left( {\frac{1}
{2}D} \right)^2 + \frac{1}
{2}D \cdot \frac{1}
{2} + \left( {\frac{1}
{2}} \right)^2 } \right)}
$

Conclusie:

Nu moet gelden:

$
I_{rechts} = I_{links}
$

Als het goed is dan kan je zien dat de $h$ wegvalt. Je krijgt een vergelijking met als onbekende $D$. Oplossen geeft je dan de gevraagde diameter.

Naschrift
Er zitten hier en daar nog wel enige haken en ogen in deze uitleg. Maar mochten er nog vragen zijn dan hoor ik dat natuurlijk graag en zal ik er in een volgend college aandacht aan besteden...

WvR
woensdag 26 mei 2021

©2001-2024 WisFaq