WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Bolzanostelling

Goedendag beste, bij de stelling van Bolzano als we aannemen dat f(a) $>$ 0 en f(b) $<$ 0 dan passen we het algoritme van Bolzano toe waarbij we het interval verkleinen door de middens steeds te nemen, uiteindelijk ontstaan er 2 rijen: an (n is een index) en bn die beide convergeren want ze zijn begrensd door elkaar en de ene monotoon stijgend en de andere monotoon dalend, als we veronderstellen dat lim an=A=B=c met c het nulpunt, dan staat er helemaal op het einde van het bewijs het volgende: f(an) $>$ 0 dan geldt dat lim f(an)$ \ge $ 0, ik snap dit niet want waarom zou het groter zijn, want als ik de grafiek volg dan komen de functiewaarden van de rij steeds dichter bij 0, dus ik snap niet waarom je kan zeggen dat lim f(an)$ \ge $ 0 is wnat als a bvb 0 is en b bvb 16 is en het nulpunt bvb 8,5 is is er een rij die naar 8,5 nadert, maar hun functiewaarden gaan toch altijd naar 0.

Mvg Noah
Noah
2de graad ASO - woensdag 7 mei 2025

Antwoord

De ongelijkheid $\lim_n f(a_n)\ge0$ is een onderdeel van het bewijs dat $c$ inderdaad een nulpunt is.

Uit het begin kun je concluderen dat, wegens de continuïteit van $f$ geldt dat
$$\lim_{n\to\infty}f(a_n)=f(c)=\lim_{n\to\infty}f(b_n)
$$De rest is er om (netjes!) te laten zien dat $f(c)=0$.

Omdat $f(a_n) > 0$ voor alle $n$ volgt, als het goed is, uit een eerdere stelling dat $f(c)=\lim_nf(a_n)\ge0$. Evenzo: omdat $f(b_n) < 0$ voor alle $n$ volgt uit diezelfde eerdere stelling dat $f(c)=\lim_nf(b_n)\le0$.

Maar uit $f(c)\ge0$ en $f(c)\le0$ volgt $f(c)=0$.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 7 mei 2025

Re: Bolzanostelling