|
|
|
\require{AMSmath}
Re: Re: Bewijs
Hallo, zou je de stappen eens willen uitleggen aub want ik snap niet waarom je plots naar het kwadraat moet kijken en zo, en de andere stappen snap ik eerlijk gezegd ook niet.
Mvg Mathias R.
Mathias R.
2de graad ASO - woensdag 23 april 2025
Antwoord
De methode is te laten zien dat
$$(n!)^2\le\left(\frac{n+1}2\right)^{2n}
$$als je dan links en rechts de wortel neemt krijg je
$$n!\le\left(\frac{n+1}2\right)^n
$$en dat was gevraagd.
De reden dat je naar het kwadraat kijkt is dat je dat handig op kunt schrijven:
$$(n!)^2=(1\cdot n)\cdot(2\cdot(n-1))\cdots(k\cdot(n-(k-1)))\cdots n\cdot1
$$Je hebt factoren van de vorm $k\cdot(n+1-k)$ (want $n-(k-1)=n+1-k$), en die zijn allemaal kleiner dan of gelijk aan $\left(\frac{n+1}2\right)^2$. Omdat er $n$ van die factoren zijn krijg je zo de bovenste ongelijkheid.
Om te laten zien dat $k\cdot(n+1-k)\le\left(\frac{n+1}2\right)^2$ voor alle $k$ bekijk je de functie $x(n+1-x)$; die neem zijn maximum aan als $x=\frac{n+1}2$, en dat maximum is gelijk aan $\left(\frac{n+1}2\right)^2$.
kphart
|
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 26 april 2025
|
|
home |
vandaag |
bijzonder |
gastenboek |
statistieken |
wie is wie? |
verhalen |
colofon
©2001-2025 WisFaq - versie 3
|
Dit is een reactie op vraag 98601