WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Differentiaalvergelijking snaar

hallo, ik loop even vast op de uitwerking van deze partiele differentiaalvergelijking:
de basis vorm is u(x,t)= X(x)·T(t) (plaats en tijd)
dit invullen in PDV
$\partial $ ²u/ $\partial $ ²t=a² $\partial $ ²u²/ $\partial $ ²x² geeft
X.T''=a²X''T
scheiden
X''-c/a²X=0
algemene oplossing
X=Ae^(√c/ax+Be^(√c/-ax

dit word omgeschreven naar
X=Acos√c/ax + Bsin√c/ax

deze laatste stap zie ik niet helemaal , ook niet als ik Euler gebruik
gijs
Student hbo - dinsdag 1 april 2025

Antwoord

Ik denk dat het komt omdat je nogal wat stappen hebt overgeslagen.

1. Bij het scheiden kom je eerst op
$$\frac{T''}{T}=a^2\frac{X''}{X}
$$met als conclusie dat $X''/X$ en $T''/T$ beide constant zijn. Dus
$$\frac{X''}{X}=c=a^{-2}\frac{T''}{T}
$$voor een $c$. Dat geeft dan $X''=c X$ (dat werkt iets makkelijker).

2. Die $c$ kan niet willekeurig zijn, want we hebben het over een snaar die aan de uiteinden, zeg bij $x=0$ en $x=1$, vastzit op hoogte $0$. Dus $X$ moet voldoen aan $X(0)=X(1)=0$.
Dan kan $c$ niet nul zijn, en ook niet positief (dit wordt als het goed is netjes uitgelegd in je boek).

3. Blijft over: $c$ negatief, zeg $c=-d$ met $d$ positief. Dat krijgt je als algemene oplossing
$$A\mathrm{e}^{ix\sqrt d} + B\mathrm{e}^{-ix\sqrt d}
$$met de formules van Euler kun je dat ombouwen tot
$$C\cos(x\sqrt d) + D\sin(x\sqrt d)
$$
4. De eis dat $X(0)=X(1)=0$ geeft bij $x=0$ invullen dat $C=0$ en bij $x=1$ invullen dat $D\sin(\sqrt d)=0$. We willen $D\neq0$, anders hebben we alleen de nulfunctie als oplossing. Dus moet $\sin(\sqrt d)=0$ gelden, en dus kan $\sqrt d$ alleen een veelvoud van $\pi$ zijn.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 1 april 2025

Re: Differentiaalvergelijking snaar