WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Taylorpolynomen restterm

Dit is een reactie op vraag 97450

Dankuwel voor de reactie! Alleen we weten dat er voor s geldt: a $<$ s $<$ x. Maar bij bijvoorbeeld het benaderen van ln(4/5) mbv de functie f(x) = ln(3-2x) waarbij eerst de derdegraads taylorpolynoom gegeven moet worden en waarna ook de restterm gegeven moet worden. Bij het bepalen van de deredegraagds polynomen en het invullen hiervan, kan er berekend worden dan ln(4/5) gelijk is aan -167/750 + bijbehorende restterm.

De restterm wordt dus (f⁴'(s))/(4!) · (x-a)⁴. Gegeven is dat a = 1 en berekend kan worden is dat x = 11/10.
Het invullen geeft: 96/((4!)(3-2s)⁴) · (11/10 - 1)⁴
Nu moet er nog een s 'gekozen' worden die tussen 1 en 11/10 ligt. Nu snap ik echter niet hoe deze s gekozen wordt om op een concreet antwoord te komen.
Plinna
Student universiteit - woensdag 7 december 2022

Antwoord

Nogmaals: het is niet de bedoeling de `juiste' $s$ te bepalen. Die $-\frac{167}{750}\approx-0.22266\dots$ is een benadering van $\ln\frac45$.
De restterm gebruikt je niet om de exacte waarde van die logaritme te berekenen maar om af te schatten hoeveel die benadering van de echte waarde verschilt.
Als je hem uitwerkt vind je dat $R_3(\frac{11}{10})$ gelijk is aan
$$\frac{-4}{(3-2s)^4}\cdot10^{-4}
$$met $1 < s < \frac{11}{10}$. Daaruit haal je dat $1 > 3-2s > \frac45$, en dus
$$1 < \frac1{(3-2s)^4} < \left(\frac54\right)^4 =\frac{625}{256} < \frac52
$$(die laatste ongelijkheid geeft een wat makkelijkere bovengrens).
Als je dat nu invult krijg je
$$-4\cdot10^{-4} > R_3\left(\frac{11}{10}\right) > -4\cdot10^{-4}\cdot\frac52=-10^{-3}
$$En dus
$$-\frac{167}{750}-4\cdot10^{-4} > \ln\left(\frac45\right) > -\frac{167}{750}-10^{-3}
$$dat is het beste dat je met Taylorpolynomen kunt bereiken.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 7 december 2022

Re: Re: Taylorpolynomen restterm