De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Bepaling limiet via definitie 3

Bewijs dat de rechterlimiet van x/(x-1) voor (x $\to$ 1) = +oneindig

Definitie : Voor iedere M $\ge$ 0 bestaat er een d $>$ 0 zodat als 1 $<$ x $<$ 1+d er geldt dat f(x) = x/(x-1) $>$ M

Laat we stellen dat M $>$ 1 zodat M-1 $>$ 0 of 1-M $<$ 0

We lossen vervolgens de ongelijkheid f(x) $>$ M op.

x/(x-1) $>$ M kan geschreven worden als x $>$ M(x-1)
x-1 $>$ 0 (alle x $>$ 1 gezien het de rechterlimiet betreft) waardoor het ongelijkheidsteken behouden blijft

Verdere stappen in deze uitwerking zijn vervolgens

x-Mx+M $>$ 0

x(1-M)+M $>$ 0

x(1-M) $>$ -M

x $<$ -M/(1-M) waarbij we het ongelijkheidsteken omdraaien omdat we 1-M $<$ 0 hebben gesteld

x $<$ M/(M-1)

Om een geschikte d te bepalen stellen we 1+d = M/(M-1)
of d = M/(M-1)-1
of d = (M-M+1)/(M-1)
of d = 1/(M-1)

Door d = 1/(M-1) te nemen geldt er voor 1 $<$ x $<$ 1+d dat f(x) $>$ M

Is deze afleiding correct en beter geformuleerd dan de voorgaande ? Bestaat er hier misschien ook een efficiŽntere afleiding voor ?

Met dank

Rudi
Ouder - vrijdag 3 september 2021

Antwoord

Het ziet er goed uit; het kan een heel klein beetje sneller door $x/(x-1)$ om te schrijven tot $(x-1+1)/(x-1)=1+1/(x-1)$. Dan wordt de ongelijkheid dus
$$
\frac1{x-1}+1 > M \text{ of } \frac1{x-1} > M-1
$$
en dat leidt wat sneller tot $\delta=1/(M-1)$.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 4 september 2021



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3