De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Derdegraadsvergelijking met een absolute waarde

De vraag waar ik bij vastzit luidt als volgt: "Hoeveel reŽle oplossingen heeft de vergelijking 1+x-x2=|x|3."

Vermits we hier met een absolute waarde zitten, moeten we dus het geval onderzoek voor x$\ge$0 en voor x$<$0.

We krijgen dus twee vergelijkingen:
(1) voor x$\ge$0 0=-x3-x2+x+1
(2) voor x$<$0 0=x3-x2+x+1

Wanneer we vergelijking twee ontbinden in factoren krijgen we 0=(-x2+1)(x+1), wat twee oplossingen oplevert, namelijk x=1 en x=-1. Echter mogen we hier alleen de waarde x=1 aannemen, omdat we het geval onderzochten waarvoor x$\ge$0.

Echter loop ik vast bij de tweede vergelijking. Je kan hier niet ontbinden in factoren en een directe oplossing zoeken aan de hand van de delers van 1 lukt hier ook niet. Je zou de vergelijking dan wel kunnen oplossen via de methode van Newton-Rhapson, maar volgens mij zou het eenvoudiger moeten kunnen, vermits ze niet specifiek naar de waarden van de reŽle oplossingen vragen, maar wel naar hoeveel er zijn.

Al vast bedankt!

Silke
Iets anders - zaterdag 23 mei 2020

Antwoord

Je kunt een derdegraadsvergelijking proberen op te lossen met de formule van Cardano. Op Formule van Cardano staat daarvoor een stappenplan. Het is dan vooral een kwestie van invullen:

$
\eqalign{
& x^3 - x^2 + x + 1 = 0 \cr
& a = 1 \cr
& b = - 1 \cr
& c = 1 \cr
& d = 1 \cr
& p = {1 \over 1} - {{( - 1)^2 } \over {3 \cdot 1^2 }} = 1 - {1 \over 3} = {2 \over 3} \cr
& q = {{2 \cdot ( - 1)^3 } \over {27 \cdot 1^3 }} - {{ - 1 \cdot 1} \over {3 \cdot 1^2 }} + {1 \over 1} = - {2 \over {27}} + {1 \over 3} + 1 = 1{7 \over {27}} \cr
& w = \sqrt {\left( {1{7 \over {27}}} \right)^2 + {4 \over {27}} \cdot \left( {{2 \over 3}} \right)^3 } = {2 \over 9}\sqrt {33} \cr
& x = \root 3 \of {{{ - 1{7 \over {27}} + {2 \over 9}\sqrt {33} } \over 2}} + \root 3 \of {{{ - 1{7 \over {27}} - {2 \over 9}\sqrt {33} } \over 2}} - {{ - 1} \over {3 \cdot 1}} \cr
& x = \root 3 \of {{1 \over 9}\sqrt {33} - {{17} \over {27}}} - \root 3 \of {{1 \over 9}\sqrt {33} + {{17} \over {27}}} + {1 \over 3} \cr}
$

Zodat je oplossing van de vergelijking uiteindelijk er zo uit ziet:

$
\eqalign{x = \root 3 \of {{1 \over 9}\sqrt {33} - {{17} \over {27}}} - \root 3 \of {{1 \over 9}\sqrt {33} + {{17} \over {27}}} + {1 \over 3} \vee x = 1}
$

De vergelijking heeft dus 2 oplossingen, maar als het nochtans gaat om het bepalen van het aantal reŽle oplossingen is het wel een beetje schieten met een kanon op een mug. Je kunt beter even de grafieken schetsen.

q89953img1.gif

Een bergparabool en de absolute waarde van een standaard grafiek.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 23 mei 2020
 Re: Derdegraadsvergelijking met een absolute waarde 



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb