De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Invariante verhouding projectieve meetkunde

Laat A, B, C en D punten op n lijn zijn in Pn. Schrijf de bijbehorende vectoren in Rn+1 als kleine letters a,b,c en d. Deze vectoren liggen dus in n vlak. Schrijf $c = κ_0 a + λ_0 b$ en $d = κ_1 a+ λ_1 b$. Dan geldt dat de verhouding (ABCD) gedefinieerd is als: $(λ_0 / κ_0 (κ_1 / λ_1)$. Bewijs nu dat: (ABCD) = (CDAB).

Ik kom hier persoonlijk niet uit, ik heb namelijk voor (ABCD) de vectoren c en d geschreven als lineaire combinaties van a en b. Voor (CDAB) heb ik de vectoren a en b juist geschreven als lineaire combinaties van c en d. Echter lukt het mij niet om dit te vergelijken of in elkaar te substitueren zonder dat het heel erg uit de hand loopt. Hoe pak ik dit wl goed aan?

Jan
Student universiteit - zondag 29 maart 2020

Antwoord

Schrijf ook $a=\alpha_0 c+\beta_0 d$, en $b=\alpha_1 c+\beta_1d$. Stop dit in $c=\kappa_0 a+\lambda_0b$ en $d=\kappa_1a+\lambda_1b$ en werk het helemaal uit z dat je dingen van de vorm $c=Kc+Ld$ en $d=Mc+Nd$. Dan moet $L=0$ en $M=0$.
Dat geeft vergelijkingen waaruit je
$$\frac{\lambda_0}{\kappa_0}\cdot\frac{\kappa_1}{\lambda_1} =
\frac{\beta_0}{\alpha_0}\cdot\frac{\alpha_1}{\beta_1}
$$kunt afleiden.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 29 maart 2020
 Re: Invariante verhouding projectieve meetkunde  



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb