De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Re: [0,1] is samenhangend

 Dit is een reactie op vraag 89333 
Maar hoe kunnen we dan aantonen dat $A$ niet open mag zijn? Of moet er een andere bewijstechniek worden gebruikt.

Jan
Student universiteit - dinsdag 10 maart 2020

Antwoord

De bewijstechniek (uit het ongerijmde) is niet het probleem. Het probleem is dat er conclusies worden getrokken die niet onderbouwd worden.

Je begint nog steeds met: stel $A$ is open-en-gesloten, niet leeg en ongelijk aan $[0,1]$. Neem $x\in A$ en $y\in[0,1]\setminus A$, zonder verlies van algemeenheid met $x $<$ y$. De verzameling $A\cap[x,y]$ is gesloten en begrensd, dus het supremum bestaat, noem dat $a$. Dan weten we dat $a\in A$ en $a $<$ y$. Gebruik nu dat $A$ open is: er is een $\varepsilon $>$ 0$ met $(a-\varepsilon,a+\varepsilon)\subseteq A$. Maar dan $a+\frac12\varepsilon\in A\cap[x,y]$, tegenspraak want $a$ was het supremum van die verzameling.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 11 maart 2020



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb