WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Limiet van een quotiënt van polynomen

Gevraagd wordt om een epsilon delta bewijs te geven van de volgende limiet met een zo groot mogelijk domein waarop de functie gedefinieerd is.
$$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{1-x}{1-x} = 1.$$Mijn bewijs volgt hieronder. Ik heb het gevoel dat dat net iets te triviaal is omdat ik niet gebruik maak van de aanname dat de afstand van $x$ tot 1 kleiner is dan $\delta$. Weet iemand of je dat gegeven per se moet gebruiken in een bewijs?

$\textit{Bewijs}$. Zij $\epsilon $>$ 0$. Kies $\delta $>$ 0$ zo dat $\delta $<$ \epsilon$. Laat $x \in R \backslash \{1\}$ met $|x - 1| $<$ \delta$. Er volgt dat $\eqalign{\left| \frac{1-x}{1-x} - 1\right| = |1 - 1| = |0| = 0 }$<$ \delta $<$ \epsilon.$ (immers $x \neq 1$).
Mark
Student universiteit - vrijdag 31 januari 2020

Antwoord

Je bewijs is correct; de functie waar het om gaat is constant, met waarde $1$ en dan doet $\delta$ er niet toe als hij maar positief is. Je kunt zelfs $\delta=1$ nemen, ongeacht $\varepsilon$.
Dit soort uitzonderlijke gevallen is wel leerzaam want je kunt je hier op de juiste vorm van de redenering concentreren.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 31 januari 2020