WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Ellips

a)
Toon aan dat het product van de afstanden van de twee brandpunten tot een willekeurige raaklijn van de ellips constant is en gelijk aan het kwadraat van de lengte van de kleine as.

b)
Gebruik de vorige eigenschap om een vergelijking op te stellen van de ellips met brandpunten F(-4,0) en F''(4,0) en waarvan t: 4x+5y-25=0 een raaklijn is.

Alvast bedankt!
Bloemp
3de graad ASO - donderdag 14 november 2019

Antwoord

Beste Bloempot,

Laten we naar vraag a) kijken.

In bovenstaande figuur hebben we een ellips met brandpunten $A$ en $B$ en met middelpunt $M$. We nemen een willekeurig punt $P$ op de ellips en trekken de raaklijn. $A$ en $B$ projecteren we loodrecht op de raaklijn, de voetpunten zijn $A_1$ en $B_1$. Als we $P$ in $M$ spiegelen naar $P'$, dan is de raaklijn aan $P'$ evenwijdig aan de andere raaklijn. $A$ en $B$ kunnen we ook op die raaklijn loodrecht projecteren naar $A_2$ en $B_2$.

Zo hebben we een rechthoek $A_1B_1B_2A_2$.

Bekend is ook dat $\angle APA_1 = \angle BPB_1 = \angle AP'A_2 = \angle BP'B_2$. Die noemen we $\alpha$. We zien dat $\Delta APA_1 \cong \Delta BP'B_2$ en $\Delta BPB_1 \cong \Delta AP'A_2$.

In $\Delta APA_1$ zien we dat $PA_1 = AP \cos(\alpha)$ en $AA_1 = AP \sin(\alpha)$.

En net zo zien we dat $PB_1 = BP \cos(\alpha)$ en $AA_2 = BB_1 = BP \sin(\alpha)$.

De rechthoek heeft dus zijden met lengte $(AP+BP)\sin(\alpha)$ en $(AP+BP)\cos(\alpha)$.

De diagonaal van die rechthoek heeft dus lengte $AP+BP$ (Pythagoras en $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$) die daarmee onafhankelijk is van de positie van $P$. De diagonaal gaat uiteraard ook door $M$, dat immers ook het middelpunt van de rechthoek is.

Dat betekent dat de punten $A_1$, $A_2$, $B_1$ en $B_2$ op de cirkel liggen met middelpunt $M$ en straal $r=\frac 12 (AP+BP)$.

Merk nu op dat $AA_1 \cdot BB_1 = AA_1 \cdot AA_2$ gelijk is aan de macht van $A$ ten opzichte van deze cirkel. Uitleg hierover in de link onderaan. Daar zie je ook dat deze macht gelijk is aan $AM^2 - r^2$. Dat is een negatief getal omdat er ook wordt gewerkt met "gerichte" lijnstukken. Voor deze opgave is dat niet van belang en kun je het minteken weglaten. Als je dat hebt gedaan, volgt het gevraagde.

Met deze kennis moet je volgens mij b) kunnen maken. Als dat niet zo blijkt te zijn, laat dan je werk zien, en leg uit waar je vast loopt, dan kunnen we kijken of je daarmee verder te helpen bent.

Met vriendelijke groet,
Zie De macht van een punt tov. een cirkel

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 15 november 2019