De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Stelling omgeschreven cirkels gelijkzijdige driehoeken

Hoi,

Ik heb de volgende opdracht gekregen om te bewijzen. Ik kom er alleen niet uit.

1) Teken driehoek ABC.
2) Teken aan alle drie de zijden een gelijkbenige driehoek.
3) Teken van alle drie de gelijkbenige driehoeken de omgeschreven cirkels.
4) Wat valt je op aan de drie cirkels? Is dit altijd zo?

Mijn uitwerking:

q87275img6.gif

Ik ben er al achtergekomen dat de drie omgeschreven cirkels elkaar in 1 punt snijden. Dit geldt alleen als de hoeken niet groter zijn dan 120°.

Ik weet nu alleen niet hoe ik dit moet bewijzen en formuleren.

Anna
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 14 december 2018

Antwoord

Hallo Anna,

Je hebt het over gelijkbenige driehoeken op zijden van een driehoek, maar ik denk dat je gelijkzijdige driehoeken bedoelt. Anders gaat de stelling niet op, zie onderstaande figuur. Ik heb daarin punt F verschoven over de middelloodlijn van AC. De driehoek ACF is dan gelijkbenig, maar de omgeschreven cirkels snijden niet meer in één punt:

q87275img1.gif

Ik ga dus uit van gelijkzijdige driehoeken op driehoek ABC.

In het algemeen: wanneer je wilt bewijzen dat drie cirkels (of andere vormen) door één punt gaan, dan probeer je meestal iets bijzonders te weten te komen over het snijpunt van twee cirkels, daarna bewijs je dat de derde cirkel ook door dit punt gaat. Laten we eens kijken of dat hier ook lukt.

In onderstaande figuur heb ik driehoek ABC opnieuw getekend, met gelijkzijdige driehoeken op zijden AB en AC. Ook heb ik de omgeschreven cirkels c1 en c2 van deze gelijkzijdige driehoeken getekend. S is het snijpunt van deze cirkels.

q87275img2.gif

De punten B, S, A en D liggen op c1. De vierhoek BSAD is dus een koordenvierhoek. Hoek D is 60° (BAD is gelijkzijdig!), de som van hoek D en hoek S in deze vierhoek is 180° (stelling koordenvierhoek), dus hoek S1 is 180°-60°=120°.
Op dezelfde wijze toon je aan dat hoek S2=120°.

In onderstaande figuur is driehoek ABC met punt S even apart getekend. Hoek S3=360°-120°-120°, dus hoek S3=120°.

q87275img4.gif

Laten we dan eens kijken naar vierhoek BSCE:

q87275img5.gif

We weten: hoek E=60° (driehoek BEC gelijkzijdig!) en hoek S3=120°. Samen zijn zij 180°, dus vierhoek BSCE is een koordenvierhoek van een cirkel door B, S, C en E (stelling koordenvierhoek). Deze cirkel gaat door BEC en is dus de omgeschreven cirkel van driehoek BEC. Punt S ligt ook op deze cirkel, dus de drie omgeschreven cirkels gaan alle drie door punt S.

OK zo?

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 15 december 2018



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3