WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Bewijs dat driehoek ABC rechthoekig is

Ik zit vast bij deze vraag:

Voor een driehoek ABC geven we:

a+c=b.√3
$\angle$B=60°
a$>$c.
Bewijs dat de driehoek rechthoekig is.
Iemand die me op weg kan helpen?
Stijn
Student universiteit België - dinsdag 28 augustus 2018

Antwoord

We weten dat $a+c=\sqrt{3}b$, dat kwadrateert tot

$3b^2 = a^2 + 2ac + c^2$. ...[1]

Aan de andere kant vertelt de cosinusregel dat

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B) = a^2 + c^2 - ac$ ...[2]

Tel bij [1] tweemaal [2] op, dan krijg je:

$3a^2 + 3c^2 = 5b^2$. ...[3]

Dat aan de ene kant. Laten we het verhaal van een andere kant bekijken door $AC$ vast te zetten. Dan is de som van de lengtes $AB+BC=a+c$ een vast getal, dus ligt $B$ op een ellips met brandpunten $A$ en $C$.

Zonder nu de algemeenheid te verliezen, kunnen we coördinaten kiezen voor $A$ en $C$, om het gemakkelijk te maken $A(-1,0)$ en $C(1,0)$, zodat $b=2$ en dus $a+c=2\sqrt{3}$.

Hieruit kunnen we afleiden dat de formule van de ellips is gegeven door: (zie eventueel de link onderaan voor wat hulp)

$\eqalign{\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{2} = 1}$

oftewel:

$2x^2 + 3y^2 = 6$ ...[4]

Bovendien kunnen we $a^2=(x-1)^2+y^2$ en $c^2=(x+1)^2+y^2$ uitdrukken in $x$ en $y$. Substitueren we dit in [3], dan levert dit na vereenvoudiging op:

$6x^2 + 6y^2 = 14$. ...[5]

Combineer [4] en [5] handig, en je vindt een uitdrukking voor $x^2$ die je het gevraagde bewijs geeft. Ik laat dat nog aan jou over.

Met vriendelijke groet,

Zie De formule van een ellips opstellen

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 28 augustus 2018