De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Constante coefficienten

Ik heb de volgende differentiaalvergelijking

dv2/dt + (3.c.y)/(2d) = 2.e

hierbij is c,d en e een bekende van densiteiten maar makkelijker om het hier zo te schrijven.

Toon dit aan door middel van de oplossingsmethode voor een lineaire differentiaalvergelijking met constante coŽfficiŽnten (met andere woorden algemene oplossing van de homogene vergelijking (=zonder tweede lid) plus particuliere oplossing van de differentiaalvergelijking met tweede lid.

In dit geval is de algemene oplossing een exponentieel dalende functie en de particuliere oplossing de constante uitdrukking voor

Het is nodig/nuttig aan te geven hoe snel die exponentieel dalende functie uitsterft.

kim
Student universiteit BelgiŽ - dinsdag 13 februari 2018

Antwoord

De oorspronkelijke vergelijking was
q85691img1.gif
Ik zou die vergelijking eerst even vereenvoudigen tot
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+ay=b
$$
met $y=v^2$, en $a=3\rho_\nu c_w/(2d\rho_h)$ en $b=2(\rho_h-\rho_\nu)g/\rho_h$ dus. Dat is wat overzichtelijker.
De bijbehorende homogene vergelijking is $y'+ay=0$ en die heeft $y=C\mathrm{e}^{-at}$ als oplossing.
Een particuliere oplossing kun je bijna direct zien: $a$ en $b$ zijn constant, dus je kunt een constante functie proberen en, inderdaad, $y_p(t)=b/a$ is een oplossing.
De algemene oplossing is dus
$$
y(t)=\frac ba+ C\mathrm{e}^{-at}
$$
Nu kun je weer invullen wat $a$ en $b$ waren en kijken of je die kwalitatieve vragen kunt beantwoorden.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 14 februari 2018



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2018 WisFaq - versie IIb