WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Orthogonale matrix

Hoi,
ik heb de opdracht gekregen om aan te tonen dat V(t) een orthogonale matrix is. Gegeven is dat V'(t) = A(t)V(t) met A een antisymmetrische matrix.
Ik weet al dat ik moet bewijzen dat V^T * V = I en V * V^T = I, zodat ik de uniciteit van de inverse kan gebruiken.
Ik zit echter vast met het bewijs dat V * V^T = I. Ik heb al geprobeerd om andersom te beginnen, en dan vind ik dit:

V * V^T = I
V' * V^T + V * (V^T)' = 0
V' * V^T + V * (V')^T = 0
A * V * V^T + V* (A * V) ^T = 0
A * V * V^T + V * V^T * A^T = 0
A * V * V^T - V * V^T * A = 0
A * V * V^T = V * V^T * A
En nu zou ik nog een gelijkheid moeten vinden. Alvast bedankt!
misspi
Student universiteit België - maandag 23 november 2015

Antwoord

Ik zou andersom beginnen: bekijk de afgeleide van $V^TV$, die is gelijk aan $(V')^TV+V^TV'$ en dat is weer $(AV)^TV+V^TAV$ ofwel $V^TA^TV+V^TAV$. Vul dan $A^T=-A$ in: $(V^TV)'= -V^TAV+V^TAV=0$.
Dus $V^TV$ is constant en dus altijd gelijk aan $V(0)$; als gegeven is dat $V(0)=I$ dan ben je nu klaar. Als dat niet gegeven is kun je verder niets concluderen.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 24 november 2015

Re: Orthogonale matrix