De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Periode sinusfunctie bepalen

Hallo,
Bij het bepalen van een sinusfunctie heb ik dit geleerd:
f(x) = d + a · sin(b(x-c) waarbij geldt:
d: verschuiving van de evenwichtsstand
a: vermenigvuldiging t.o.v. de x-as (veranderen van amplitude)
b: vermenigvuldiging t.o.v. de y-as (periode)
c: verschuiving over de x-as

Nu heb ik geleerd dat de periode uit de formule bepaald kan worden, namelijk door b. periode = 2$\pi$/ b

Nu heb ik een probleem. In mijn lesboek staat een opgave met deze twee sinusfuncties:
f(x)= sin3(x) en g(x) = sin4(x)
Er wordt gevraagd wat de periode van elk van de functies is. Nu blijkt de periode van functie f 2$\pi$ te zijn en de periode van functie g 1$\pi$. Hoe kun je dit weten? Er is namelijk geen 'b', zodat je de periode kan berekenen. Kun je er enkel achter komen door de grafiek te plotten op de grafische rekenmachine?

met vriendelijke groet,

Nina
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 25 april 2015

Antwoord

Hallo Nina,

Met behulp van een plot op je rekenmachine krijg je snel een vermoeden wat de periode moet zijn, maar in het algemeen levert zo'n plotje benaderingen. Om de periode echt vast te stellen, moet je inderdaad een beetje doordenken en wiskundig inzicht gebruiken.

Bedenk dat je sin3(x) kunt schrijven als sin2(x)·sin(x), en sin4(x) als (sin2(x))2. Laten we dan eens bekijken wat de periode is van sin2(x). Dat kan op twee manieren:

1) Aan de hand van formules
Je hebt misschien deze formule geleerd:

cos(2x) = 1-2sin2(x)
(ook: cos(2x) = cos2(x)-sin2(x) = 2cos2(x)-1, maar aan deze vormen hebben we nu even niks).

Hiermee kan je sin2(x) herleiden tot:

sin2(x) = 1/2 - 1/2cos(2x)

De periode van sin2(x) is dus hetzelfde als de periode van cos(2x), de periode van sin2(x) is dus $\pi$.

2. Aan de hand van de grafiek van de sinusfunctie
Hieronder zie je de grafiek van de sinusfunctie (doorgetrokken lijn):

q75452img1.gif

Wanneer we gaan kwadrateren, dan leveren negatieve delen van de grafiek (bijvoorbeeld tussen $\pi$ en 2$\pi$) hetzelfde resultaat op als wanneer deze delen positief waren geweest (groene stippellijn). Je kunt dus net zo goed de groene curve kwadrateren. Je weet dat de negatieve delen prcies dezelfde vorm hebben als de positieve delen, de groene curve heeft dus een periode van 1·$\pi$. Je weet dus van tevoren dat de curve na kwadrateren ook een periode van $\pi$ zal hebben.

Nu we weten dat de periode van sin2(x) gelijk is aan $\pi$, gaan we beredeneren wat dit betekent voor f(x) en g(x) uit jouw vraag:

Bij f(x) vermenigvuldig je sin2(x) met sin(x). Het eerste deel herhaalt na periodetijd $\pi$, maar het tweede deel herhaalt pas na periodetijd 2$\pi$. Het totaal herhaalt dan ook pas na periodetijd 2$\pi$.

Bij g(x) kwadrateer je sin2(x). De functie sin2(x) herhaalt na periodetijd $\pi$, dat verandert niet door kwadrateren: ook sin4(x) herhaalt zodoende na periodetijd $\pi$.

Is het hiermee duidelijker geworden waarom de periodetijden zijn zoals deze zijn?

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 25 april 2015
Re: Periode sinusfunctie bepalen
Re: Periode sinusfunctie bepalen



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3