WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Een verdichtingspunt

Wat is een verdichtingspunt eigenlijk? Ik heb hier als definitie staan: een punt (vector) a element van R is een verdichtingspunt (of ophopingspunt) van de verzameling V (deelverzameling van Rn) , als elke omgeving van (vector) a minstens een punt van V bevat verschillend van (vector) a.
Losfel
Student universiteit België - zaterdag 10 januari 2015

Antwoord

Misschien dat een tweetal voorbeeldjes het iets voor je verduidelijken, want de definitie heb je zelf al opgeschreven.
Bekijk als V eens het open interval $<$0,1$>$ in $\mathbf{R}$. We hebben het dus over álle getallen die tussen 0 en 1 liggen.
Kijk nu eens naar het getal 2.
Is dit een verdichtingspunt van V = $<$0,1$>$?
Nee, want als je (bijv.) als omgeving van 2 het interval $<$1¹/₂,2¹/₂$>$ neemt, dan heeft deze omgeving helemaal geen contact met je interval $<$0,1$>$ en in je definitie heeft men het duidelijk over élke omgeving!
De verklaring is natuurlijk eenvoudig: 2 ligt te ver verwijderd van V zodat je makkelijk een interval rond 2 kunt nemen dat niets gemeenschappelijk heeft met V.
Maar kijk nu eens naar het getal 1. Dit getal zit zelf niet in V, maar als je rond 1 een omgeving neemt dan krijg je altijd contact met V. Je kunt het interval rond 1 nog zo klein nemen, links van 1 krijg je contact met V en daarom is 1 een verdichtingspunt of ophopingspunt of limitpoint van V.
Het zelfde geldt voor 0, en zelfs voor elk getal binnen V. Probeer maar eens rond ¹/₂ een intervalletje te maken dat verder geen contact heeft met V. Dat zal niet lukken.

Tweede voorbeeld.
Bekijk eens de rij getallen 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ¹/₆ ...... kortom de rij {1/n}. De getallen van deze rij komen stap voor stap iets dichter bij 0.
Is ¹/₅ hier verdichtingspunt? Nee, want je kunt gemakkelijk rond ¹/₅ een intervalletje kiezen dat geen enkel getal van de rij bevat behalve 1/5.
Tussen ¹/₄ en ¹/₅ zit een gat van 0,05 en tussen ¹/₅ en ¹/₆ zit een gat van (ongeveer) 0,03. Als je dus rond ¹/₅ een interval kiest met een breedte van 0,02 dan zit er geen enkel ander getal dan ¹/₅ in dat interval.
Maar kijk nu eens naar 0. Je kunt rond 0 een nóg zo'n klein intervalletje kiezen, vanaf een bepaald rangnummer zitten er oneindig veel getallen van de rij in je interval. Neem je bijv. het interval
$<$-0,001 ; 0,001$>$ dan vallen alle termen van je rij vanaf n = 1001 in je interval. Maak je je interval nog veel kleiner, dan komen vanaf een zeker moment alle termen binnen je interval. Immers, ze marcheren vastberaden op 0 af! Daarom mag 0 mag zich ophopingspunt van deze rij noemen.

MBL

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 10 januari 2015