De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Lineaire afbeelding

Ik weet niet zo goed hoe ik bij deze vraag moet beginnen.
De ruimte R2 wordt met het complexe vlak C geïdentificeerd door vectoren (x,y) uit R2 gelijk te stellen aan complexe getallen z=x+iy. Laat c=a+ib een vast complex getal zijn.
a. De afbeelding l1: C -$>$ C gegeven door l1(z)=cz, correspondeert met een lineaire afbeelding L1: R2 -$>$ R2. Bereken de matrix L1.

b. Laat L4(x)=(a11 a12
a21 a22) · x zijn. Vind complexe getallen c,d in C zondanig dat L4 correspondeert met l4(z)=cz+dz(met een streep).
Kan u misschien een beetje helpen?

Sara
Student universiteit - zaterdag 28 september 2013

Antwoord

Beste Sara,

a. De afbeelding l1 stuurt z naar cz, en je kan dus iets gelijkaardigs doen in R2 door die identificatie tussen C en R2 te gebruiken. Als z naar cz wordt gestuurd, zal (x,y) naar een zekere (p,q) worden gestuurd. Nu kun je twee dingen doen:
1) Je probeert uit de zoeken wat die (p,q) precies is (door middel van l1 en de identificatie tussen C en R2). Dan ken je de functie L1 en kan je dus die matrix bepalen.
2) Of je gebruikt het feit dat je om de matrix L1 te bepalen, enkel de beelden van de basisvectoren (1,0) en (0,1) nodig hebt. Vermits (1,0) overeenkomt met het complexe getal 1 en (0,1) met het complexe getal i, zal je waarschijnlijk wel kunnen uitrekenen naar welk complexe getallen die worden gestuurd (let op dat je hier niet c gebruikt maar a+ib, om van de uitkomst het reële en het imaginaire deel afzonderlijk te kunnen kennen), en die uitkomst kan je dan weer omzetten in een element van R2.

b. Stel $z = z_1+iz_2$, $c = c_1+ic_2$ en $d=d_1+id_2$. Dan bereken je twee dingen:
1) $l_4(z) = cz+d\bar{z} = (c_1+ic_2)(z_1+iz_2)+(d_1+id_2)(z_1-iz_2) = \ldots$
2) $L_4(z_1,z_2) = (a_{11}z_1+a_{12}z_2, a_{21}z_1+a_{22}z_2)$
En nu moet je zorgen dat het complexe getal dat je uitkomt bij 1) overeenkomt met het koppel reële getallen dat je uitkomt in 2). Daarvoor moet je een relatief eenvoudig stelsel oplossen.

Geraak je zo verder?

Mvg

cs
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 29 september 2013
 Re: Lineaire afbeelding 



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3