De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Cirkelvergelijking

Hallo,
Ik wil graag weten of ik dit goed heb gedaan en of iemand nog op of aanmerkingen heeft?

Snelle aanpak, vermenigvuldigen van een ellips

De tweede methode is eigenlijk vele malen eenvoudiger:
Wanneer we terugkeren naar onze eerste formule, dan blijkt dat

X=sin(t)
Y=cos(t)
Z=cos(t)

Een ellips oplevert, omdat sqrt(x2+y2+z2) niet gelijk is aan 1
Willen we dit wel bereiken dan moeten we de paramatervergelijking vermenigvuldigen:

X=sin(t)
Y=a cos(t)
Z=b cos(t)

Maar hoe krijg je dan een cirkel?
Dit vind je met a2+b2=1, want wanneer dit 1 is, zal de straal ook 1 zijn.
Neem voor a het natuurlijke grondtal e, maar dan 1/4 e
Maal een achtste keer de verhouding van een cirkelomtrek tot zijn straal “1/8ð”
Samen geven deze getallen de volgende parameter:

X=sin(t)
Y=(1/32)eðcos(t)
Z=bcos(t)

b kunnen we uitrekenen door de vergelijking in te vullen:
((1/32)eð)2+b2=1
b= sqrt(1-((1/32)eð)2) ​v ​b= -sqrt(1-((1/32)eð)2)

x=sin(t)
y= (1/32)eðcos(t)
z=-sqrt(1-((1/32)eð)2) cos(t)

sqrt(x2+y2+z2)
sqrt(sin(t) + ((1/32)eðcos(t))2 + (sqrt(1-((1/32)eð)2) cos(t))2
en we weten dat a2+b2=1, dus
((1/32)eðcos(t))2 + (sqrt(1-((1/32)eð)2) cos(t))2 zijn samen gewoon cos2(t)

Hieruit volgt dat:
sqrt(sin2(2)+cos2(t))=1

En dit is ook meteen het bewijs dat onze cirkelformule, een cirkel is, geen ellips.

Wesley
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 6 december 2012

Antwoord

Hallo, Wesley.

Je bent flink en creatief, hoewel onnavolgbaar, te werk gegaan, maar het bewijs klopt toch nog niet.

Dat voor jouw functies x(t), y(t), z(t) voor alle waarden van t geldt x(t)2 + y(t)2 + z(t)2 = 1, betekent wel dat jouw kromme (x(t),y(t),z(t)) helemaal op de bol met vergelijking x2 + y2 + z2 = 1 ligt, maar nog niet dat het een cirkel is, want er liggen nog wel heel andere krommen op die bol behalve cirkels.

Nu voldoen jouw functies ook aan by(t) = az(t), dus jouw kromme ligt tevens helemaal in het platte vlak met vergelijking bY = aZ.
De kromme ligt dus in de doorsnijding van dat vlak en die bol, en de doorsnede van een bol en een vlak is een cirkel als er meer dan één punt in de doorsnede zit.

Het vlak bY = aZ gaat door de oorsprong, dus de doorsnede van vlak en bol is inderdaad een (grote) cirkel.
Om het bewijs af te maken, moet je laten zien dat je kromme een hele cirkel is, niet slechts een deel van een cirkel.

Je opmerkingen over ellipsen en cos(2t) zijn voor jouw rekening, maar doen verder niet ter zake.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 13 december 2012



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3