WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Hoeken in piramide met schuin snijvlak

Beste mensen,

Ik bouw een muziekinstrument waarvan de klankkast de vorm heeft van een deel van een piramide. Om de juiste vorm van onderdelen te bepalen, moet ik het volgende probleem oplossen:

Een piramide heeft een regelmatige 12-hoek als grondvlak (x-y-vlak). De x-as verbindt de middens van twee zijden die tegenover elkaar liggen (de y-as ook). De doorsnede in het x-z-vlak is een gelijkbenige driehoek, de tophoek is 10 graden. De top van de piramide noem ik T.
Deze piramide wordt doorsneden door een schuin vlak dat ontstaat door het grondvlak rond de x-as 25 graden te kantelen. De punten waar van de ribben van de piramide door dit schuine vlak gaan, noem ik A, B, C t/m L (12 ribben leveren 12 snijpunten).

Mijn vraag is nu: hoe bereken ik de hoeken TAB, TBC, TCD enz. (dus de hoeken tussen de ribben van de piramide en de snijlijnen tussen opstaande vlakken en schuin vlak)?

Ik ben aan de slag gegaan door in diverse aanzichten afmetingen te berekenen, maar dit wordt een eindeloze brij van sin-cos-tan-formules en pythagoras. Weet iemand een handigere aanpak?

Gilbert
WisFaq_GHvD@hotmail.com
Gilber
Beantwoorder - dinsdag 11 oktober 2011

Antwoord

Beste Gilbert,
Ik ben wel benieuwd wat dat voor muziekinstrument moet worden.
Het zal een heel gereken worden, maar ik denk dat het het makkelijkst gaat met behulp van vectoren.
De snijpunten met het scheve vlak liggen op de ribben van je piramide, dus de totphoeken zijn bekend, althans te berekenen.
Je kan dan allereerst de coordinaten van alle snijpunten berekenen.
Daarmee kan je de lengtes van T tot die snijpunten berekenen.
Daarmee weet je al hoe je driehoiejes TAB enz . er uit zien.
Wil je toch ook die hoeken TAB enz. berekenen kan dat met de sinus of cosinusregel.

Allereerst de coordinaten op het grondvlak van de piramide, die noem ik a,b,c,enz. (kleine letters) en die van de snijpunten met het gekantelde vlak A,B,C,... (hoofdletters).
Ik kort voor het gemak sinus, cosinus en tangens af met s,c of t.
Dan is bijvoorbeeld sin(15^o)=s15.

Maak een lijstje:
a(c15, s15);b(c45,s45);c(s14,c15);d(-s15,c15);e(/c45,s45);f(-c15.s15);
g(-c15,-s15);h(-c45,-s45);i(-s15,-c15);j)s15,-c15);k(c45,-s45);l(c15,-s15);
Je kan eventueel deze waarden exact weergeven:
s15=Ö(0,5-0,25Ö3) en c15=Ö(0,5+0,25Ö3);
s45=c45=0,5Ö2.

Voor een willekeurig punt uit deze lijst noem ik de coordinaten:(i(x),i(y)).
En voor de snijpunten (I(x),I(y),I(z)).
Nu geldt: de lijnen door T en i zijn te beschrijven met:

Voor het gekantelde vlak geldt:

Hiermee kan je berekenen dat voor de snijpunten I geldt:
.
Vervolgens kan je bijvoorbeeld de lengte van TA berekenen met:
TA=Ö(A(x)²+A(y)²+(t85-A(z))²)
of algemeen: TI=Ö(T(x)²+T(y)²+(t85-I(z))²).

Als je dan toch de hoeken wil berekenen kan dat met de sinus of cosinusregel, maar het lijkt me niet echt nodig.
Mocht je daar toch nog hulp bij nodig hebben hoor ik het wel, ook als het niet lukt alles uit te rekenen.
Ik zou het zelf doen met bijvoorbeeld excel.
Succes en hoop dat je een mooi muziekinstrument maakt.
Groet,
Lieke.
p.s. Ik zie nu dat de tophoek in de doorsnede van he xz-vlak 10 graden moet zijn. In bovenstaande berekening ben ik uitgegaan van de hoek met de ribben en die is iets groter. Als correctie moet je dan overal waar t85 staat dit vervangen door t85*c15. Verder is de afstand van de hoekpunten a,b, enz. tot aan de as van de piramide gesteld op 1. Om de ware maten te krijgen moet je dan bepalen hoe lang die afstand in werkelijkheid is en de figuur vergroten.

ldr

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 11 oktober 2011