De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Raaklijnenpoollijnen

beste mensen van wisfaq. ik heb de volgende vraag waar ik niet uit kom.

de cirkel x2 + Y2 = r2 snijdt de positieve y-as in A
P een willekeurig punt van de raaklijn aan de cirkel in A. uit P trekt men de tweede raaklijn die de cirkel raakt in B
a) bepaal de verzameling die de middelpunten van de omgeschreven cirkels van de driehoeken ABP vormen als P de raaklijn in A doorloopt.

ik kwam tot het volgende:
- Raakijn uit A moet zijn Y=R(straal) op deze lijn ligt ook p. middelpunt cirkel is immers o,0. A ligt dus op (0,r)

- de poollijn uit p = xp . x + yp .y = r2 omdat yp = r geldt. poollijn uit p = xp . x + r.y = r2 ( maar hier heb je denk ik niets aan)

- p ligt o de raaklijn uit B. dus p(x,r) ligt op:
xb.x + yb.y = r2 dus geldt xb.xp +yb.r= r2

maar wat en hoe verder. bovenstaande gegevens kan ik afleiden, maar weet verder niet of ik er iets mee kan of hoe. aub uw hulp.

mvg john

john
Student hbo - vrijdag 19 maart 2010

Antwoord

Het snijpunt van de cirkel met de positieve y-as is A(0,r).
De raaklijn in A aan de cirkel heeft vergelijking y = r.
Een willekeurig punt hierop is P(p,r), waarbij p variabel is.
De poollijn van P t.o.v. de cirkel heeft de vergelijking px + ry = r2 en de rc. van deze lijn is dus -p/r
De middelloodlijn van deze poollijn heeft dan rc = r/p en dus is de vergelijking y = (r/p).x
Merk op dat deze middelloodlijn uiteraard door P en door O gaat.
De middelloodlijn van AP is de verticale lijn met vergelijking x = 1/2p.
Het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek ABP (B is het andere snijpunt van poollijn en cirkel) voldoet dus aan twee eisen:
x = 1/2p en y = (r/p)x.
Je moet nu 'loskomen' van de variabele p.
Omdat p = 2x volgens de eerste vergelijking is op grond van de tweede vergelijking y = r/(2x).x = 1/2r
Het middelpunt van de omgeschreven cirkel ligt dus steeds op een hoogte die gelijk is aan de helft van de straal van de cirkel.


MBL
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 20 maart 2010
 Re: Raaklijnenpoollijnen 



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3