WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Re: Re: Singulariteiten en bepalen van residue

Dit is een reactie op vraag 60770

dank voor uw snel antwoord.

Ik begin alles door mekaar te sluiten. Ik vat even samen: dus je moet op het einde uw bekomen reeks herleiden tot een standaard reeks (in dit geval, die van de emacht) en dan moet je de a_-1 coefficienten (dit gebeurt door voor n -1 in te vullen, maar omdat in dit geval geen n meer in te vullen is blijft het 1/2. klopt mijn redenering ?

dank voor de hulp alvast
AA
Student universiteit - zaterdag 14 november 2009

Antwoord

Beste AA,

Ik volg je redenering niet helemaal, waarom is er geen n in te vullen...? We zetten het even op een rijtje.

- Het residu in een geïsoleerd singulier punt a van een complexe functie f(z), is de coëfficiënt van de term in 1/(z-a) van de Laurentreeks van f.

- Voor e^z heb je rond z = 0 de reeks

1 + z + z²/2 + z³/3! + ...

Voor e^1/z wordt dit dus

1 + 1/z + 1/(2z²) + 1/(3!z³) + ...

Zodat tenslotte voor z.e^1/z geldt

z + 1 + 1/(2z) + 1/(3!z²) + ...

Ik heb hier de eventuele verwarring met n vermeden door de reeks niet symbolisch i.f.v. n op te schrijven, maar dat kan je zelf even doen.

- In bovenstaande reeks voor z.e^1/z is de term in 1/z gelijk aan 1/(2z), de coëfficient is dus 1/2, dit is het residu van z.e^1/z in z = 0.

- Volgens de residustelling is de gezochte integraal gelijk aan 2pi keer de som van de residuen, maar hier heb je enkel het residu 1/2; dus pi.

mvg,
Tom

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 15 november 2009