De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Poissonverdeling - integraal recursief berekenen

hoe laat je zien dat voor een poissonverdeelde toevalsvariabele met parameter lambda (> 0)de waarschijnlijkheid dat P(X<=n)= 1/n!integraal over lambda tot oneindig e tot de macht -x x tot de macht n dx is?
De hint die gegeven werd is gebruik maken van integration by parts. Dank!!!

remco
Student universiteit - maandag 16 december 2002

Antwoord

Hoi,

Bij een Poission-verdeling hebben we:
pk=lk.e-l/k!

Je stelling is dat
P(Xn)=sum(pk,k=0..n)=int(e-x.xn,x=l..¥)/n!.

Welnu,
noem In=int(e-x.xn,x=l..¥), dan hebben we:

In = -int(xn.d(e-x)) = -[xn.e-x,x=l,x=¥]+int(e-x.n.xn-1) (part.integratie - sorry voor notatie)

Bemerk dat lim(xn.e-x,x®¥)=0, zodat
In = ln.e-l+n.int(e-x.xn-1) = ln.e-l+n.In-1 en dus:
In/n! = ln.e-l/n!+In-1/(n-1)!

Je rekent na dat I0=e-l, zodat:
In/n! = ln.e-l/n!+ln-1.e-l/(n-1)!+ln-2.e-l/(n-2)!+ ... + l.e-l/1!+1.e-l/0!
En dus:
In/n! = sum(lk.e-l/k!,k=0..n) = sum(pk,k=0..n) (QED).

Groetjes,
Johan

andros
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 20 december 2002



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3