De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Volledig functieverloop

Ik ben een paar oefeningen aan het oplossen en deze lukte mij niet zo goed. Geef een volledig functieverloop van de volgende functie:
f:x$\to$y=(x-1)(x2-16)

gul
Overige TSO-BSO - zondag 23 augustus 2009

Antwoord

Hallo,

Laten we beginnen met het snijpunt met de y-as te berekenen. In zo'n punt geldt dat de x-coördinaat 0 moet zijn. Dus f(0) = (0-1)(02-16) = 16 geeft (0,16) als snijpunt met de y-as.

Snijpunten met de x-as krijg je door f(x) = 0 op te lossen, oftewel (x-1)(x2-16) = 0.
Een product is 0 als een van de factoren 0 is, dus x-1 = 0 of x2-16 = 0 dus als x = 1 of x2 = 16 dus als x = 4 of x = -4. Dus snijpunten met de x-as zijn (-4,0), (1,0) en (4,0).

Om een minimum of maximum te bepalen moet je eerst de afgeleide bepalen (en die gelijkstellen aan 0). Je kunt f(x) differentiëren door product regel te gebruiken of door eerst de haakjes weg te werken en daarna te differentiëren.
f(x) = x3 - 16x - x2 + 16 dus f'(x) = 3x2 - 16 -2x = 3x2 - 2x - 16.
Nu gaan we kijken waar de functie een horizontale raaklijn heeft (dus waar de afgeleide 0 is), dit is geen garantie voor minimum of maximum (aangezien het ook om een buigpunt kan gaan), maar wel een noodzakelijke voorwaarde.
3x2 - 2x - 16 = 0 kan m.b.v. abc-formule opgelost worden.
D = b2 - 4ac = (-2)2 - 4·3·(-16) = 4 + 192 = 196 0 dus 2 oplossingen.
x1,2 = -b±ÖD/2a = 2±Ö196/6 = 2±14/6.
Oftewel x = -2 of x = 22/3. De y-waarde krijg je door de zojuist verkregen x-waarden in de functie (van f!!!) in te vullen. Dit levert (-2,36) en (22/3,-1422/27).
Om nu te controleren of dit extreme waarden zijn, kun je een paar dingen doen.
Om bijvoorbeeld te controleren of y = 36 een extreme waarde is, kun je een kleinere en een grotere x-waarde dan x =-2 in de functie invullen en kijken wat de y-waarde doet (als beide y-waarden kleiner/groter zijn dan y = 36 dan moet het wel een (lokaal) maximum/minimum zijn).
Een andere methode is om de tweede afgeleide te berekenen, en te kijken welke waarde uit f''(-2) komt. Als f''(-2) 0 dan is er een (lokaal) maximum in f(-2), als f''(-2) 0 dan is er een (lokaal) minimum. Anders zou het een buigpunt kunnen zijn.
f''(x) = (3x2 - 2x - 16)' = 6x - 2.
Dus f''(-2) = 6·(-2) - 2 = -14 0 dus een (lokaal) maximum in punt (-2,36).
Analoog f''(22/3) = 14 0 dus een (lokaal) minimum in (22/3,-1422/27).

Om de coördinaten van het buigpunt te achterhalen moet je f''(x) = 0 oplossen, oftewel 6x - 2 = 0 als x = ⅓ en dus f(⅓) = 1016/27 (Bevestig dit achteraf ook door naar je uiteindelijke plot te kijken).

Op basis van deze informatie heb je voldoende gegevens om een plot van de grafiek te maken. Een tekentabel kun jezelf maken, mocht je dat nodig vinden.



Als er iets niet begrijpt of vastloopt, mag je altijd reageren.

Gr. Davy.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 23 augustus 2009



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3