|
|
\require{AMSmath}
Maclaurinreeksontwikkeling van de Tangens
Wij moeten van deze ontwikkeling ook de algemene formule opstellen voor de n-de afgeleide, de (n+1)-afgeleide en met behulp van het sommatieteken. Hoe zitten die precies in elkaar?
Marie
3de graad ASO - zaterdag 6 juni 2009
Antwoord
Beste Marie,
Er bestaat wel een expliciete formule van de Maclaurin-reeksontwikkeling van de tan(x), die luidt
(Bron: MathWorld), maar het bewijs hiervan is niet zo eenvoudig (zie bijvoorbeeld Calculus Gems (George F. Simmons).
Makkelijker is het om tan(x) = sin(x)/cos(x) te gebruiken en de ontwikkeling van sin(x) resp. cos(x) te bepalen en deze door elkaar te delen. Je weet hoogstwaarschijnlijk wel dat de Maclaurin-reeks een gegeven functie, zeg f(x), benadert rond het punt (0,f(0))? Die benadering krijg je door de volgende formule te hanteren:
Laten we eerst de reeksontwikkeling voor sin(x) bepalen.
f(x) = sin(x). Dan is f(0) = 0. f'(x) = cos(x) = sin(x + 1/2·$\pi$). Dus is f'(0) = 1. f''(x) = -sin(x) = sin(x + 2·1/2$\pi$). Dus is f''(0) = 0. f'''(x) = -cos(x) = sin(x + 3·1/2$\pi$). Dus is f'''(0) = -1. Enz. f(n)(x) = sin(x + n·1/2$\pi$). Gecombineerd sin(x) = x - x3/3! + x5/5! - x7/7! + ... + xn·sin(n·$\pi$/2)/n!
Om de reeksontwikkeling voor cos(x) te bepalen ga je op dezelfde manier te werk. Je zou op cos(x) = 1 - x2/2! + x4/4! - x6/6! + ... + xn·cos(n·$\pi$/2)/n! moeten uitkomen.
Dus tan(x) = x - x3/3! + x5/5! - x7/7! + ... + xn·sin(n·$\pi$/2)/n!/1 - x2/2! + x4/4! - x6/6! + ... + xn·cos(n·$\pi$/2)/n!
Alles te samen:
Mocht je n.a.v. dit antwoord nog vragen hebben, kun je altijd reageren!
Groetjes,
Davy.
|
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 8 juni 2009
|
|
home |
vandaag |
bijzonder |
gastenboek |
statistieken |
wie is wie? |
verhalen |
colofon
©2001-2024 WisFaq - versie 3
|