De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Maclaurinreeksontwikkeling van de Tangens

Wij moeten van deze ontwikkeling ook de algemene formule opstellen voor de n-de afgeleide, de (n+1)-afgeleide en met behulp van het sommatieteken.
Hoe zitten die precies in elkaar?

Marie
3de graad ASO - zaterdag 6 juni 2009

Antwoord

Beste Marie,

Er bestaat wel een expliciete formule van de Maclaurin-reeksontwikkeling van de tan(x), die luidt

q59551img1.gif (Bron: MathWorld), maar het bewijs hiervan is niet zo eenvoudig (zie bijvoorbeeld Calculus Gems (George F. Simmons).

Makkelijker is het om tan(x) = sin(x)/cos(x) te gebruiken en de ontwikkeling van sin(x) resp. cos(x) te bepalen en deze door elkaar te delen.
Je weet hoogstwaarschijnlijk wel dat de Maclaurin-reeks een gegeven functie, zeg f(x), benadert rond het punt (0,f(0))?
Die benadering krijg je door de volgende formule te hanteren:

q59551img2.gif

Laten we eerst de reeksontwikkeling voor sin(x) bepalen.

f(x) = sin(x). Dan is f(0) = 0.
f'(x) = cos(x) = sin(x + 1/2·$\pi$). Dus is f'(0) = 1.
f''(x) = -sin(x) = sin(x + 2·1/2$\pi$). Dus is f''(0) = 0.
f'''(x) = -cos(x) = sin(x + 3·1/2$\pi$). Dus is f'''(0) = -1.
Enz.
f(n)(x) = sin(x + n·1/2$\pi$).
Gecombineerd sin(x) = x - x3/3! + x5/5! - x7/7! + ... + xn·sin(n·$\pi$/2)/n!

Om de reeksontwikkeling voor cos(x) te bepalen ga je op dezelfde manier te werk. Je zou op cos(x) = 1 - x2/2! + x4/4! - x6/6! + ... + xn·cos(n·$\pi$/2)/n! moeten uitkomen.

Dus tan(x) = x - x3/3! + x5/5! - x7/7! + ... + xn·sin(n·$\pi$/2)/n!/1 - x2/2! + x4/4! - x6/6! + ... + xn·cos(n·$\pi$/2)/n!

Alles te samen: q59551img2.gif

Mocht je n.a.v. dit antwoord nog vragen hebben, kun je altijd reageren!

Groetjes,

Davy.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 8 juni 2009



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3