WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Re: Re: Kansverdeling

Dit is een reactie op vraag 56919

Opgave 1
Van een debiteurenbestand is bekend dat 5 % van de debiteuren in het bestand eigenlijk al hebben betaald en dus onterecht op de lijst voorkomen. Dit wordt bij controle als een fout aangemerkt. De overige 95 % van de debiteuren moet nog betalen.

b) Om een test uit te voeren wordt een steekproef getrokken van 10 debiteuren en er wordt gecontroleerd of zij terecht op de lijst staan. Als dit niet het geval is, dan wordt dit als een fout geteld. Hoe groot is de kans dat er precies 1 debiteur niet terecht op die lijst staat?

Antwoord van mezelf:

Ik heb aangenomen dat t in de eerste som gaat over een binomiale verdeling gaat.

1/20= onterecht
19/20= terecht

We definiëren de stochast X als volgt: het aantal onterechte debiteuren. We gaan er vervolgens van uit dat het om een trekking gaat MET TERUGLEGGING!

We gaan 10 keer een trekking verrichten-- n=10

Stel we willen weten wat de kans is op dat er van de 10 trekkingen met teruglegging alle 10 terecht op de lijst van de debiteuren staat-- P(X=0)

Er is maar een combinatie waarbij alle 10 terecht in de lijst staat: tttttttttt

Dit kunnen we ook naberekenen: 10!/ (0!*10!)= 1

P(X=0)= combinaties maal de kans dat er 0 keer een onterecht geval is maal de kans dat ze alle 10 terecht op de lijst staan.

P(X=0)= 10!/ (0!*10!)*(1/20)^0* (19/20)^9=0.5987..

De vraag was: wanneer is er precies 1 geval die onterecht op de lijst staat.

P(X=1)= 10!/(1!*9!)*(1/20)^1*(19/20)^9= 0.3151..

d) Een andere test wordt uitgevoerd met een steekproef van 100 debiteuren uit het debiteurenbestand. Hoe groot is de kans dat hierin 10 of meer debiteuren zitten die wel hebben betaald?

Kan ik nou bij het antwoorden van d hetzelfde formule gebruiken? Dus maar bij b is de n=10 en d n=100?

Muhamm
Student hbo - dinsdag 28 oktober 2008

Antwoord

Je kan bij d dezelfde formule gebruiken, dat wordt alleen wel veel rekenwerk. Je gaat dan de kans uitrekenen voor x10. Dat gaat als volgt:

P(x10) = P(x=10) + P(x=11) + ... + P(x=99) + P(x=100)

Dat kan wel wat makkelijker:

P(x10) = 1 - P(x9) = 1 - (P(x=0) +P(x=1) +... + P(x=8) + P(x=9))

Als je dat uitrekent kom je op het goede antwoord, maar het kost nog steeds veel rekenwerk. Om het rekenwerk te omzeilen kan je ook het antwoord benaderen in plaats van het exact uit te rekenen. Het is zo dat naarmate de waarde voor n hoger is gaat de binomiale verdeling meer op de normale verdeling lijken. Daarom mag je de normale verdeling gebruiken om het antwoord te benaderen als n groot genoeg is. Om te bepalen of n groot genoeg is moet je controleren of er aan drie eisen wordt voldaan:

n 20
n*p 5
n*(1-p) 5

In deze som wordt aan alle drie de eisen voldaan (reken dat zelf na), dus mag er normaal benaderd worden. Om de normale verdeling te gebruiken zijn een verwachtingswaarde en standaardafwijking nodig. Deze zijn bij een binomiaal verdeelde stochast als volgt te bepalen:

verwachtingswaarde: n*p
standaardafwijking: Ö(n*p*(1-p))

In deze som wordt dat dus:
verwachtingswaarde = 100*0,05 = 5
standaardafwijking = Ö(100*0,05*0,95)) = Ö(4,75) = 2,1794...

Nu moet er nog een ding gebeuren voordat de normale verdeling daadwerkelijk toegepast kan worden: de continuïteitscorrectie. De binomiale verdeling is een discrete verdeling, terwijl de normale verdeling een continue verdeling is. Met andere woorden: de binomiale verdeling kent alleen uitkomsten voor gehele getallen terwijl de normale verdeling een uitkomst heeft voor alle reële getallen. Wanneer je de kans op x = 5 normaal benaderd, moet je de kans bepalen voor x tussen 4,5 en 5,5. Dat is de continuïteitscorrectie. In jou som wordt gevraagd de kans voor x groter dan of gelijk aan 10. Als je normaal benaderd betekent dat dat je de kans moet bepalen voor x 9,5. Je hebt nu de gegevens om de normale benadering toe te passen.

Bij deze som is het nog enigszins te doen om met de formule voor de binomiaal verdeling een exact antwoord te bepalen, dus kan je zelf bepalen of je dat wilt doen of normaal wilt benaderen. Hoe groter n wordt, hoe meer rekenwerk het wordt en bij grote waarden voor n kan het zelfs zo zijn dat je faculteiten tegenkomt die de meeste rekenmachines niet kunnen bepalen. Daarom raad ik aan om bij deze som voor de oefening normaal te benaderen.

Mvg
David

DvdB

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 30 oktober 2008