WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Een onbegrensde functie in een Sobolev ruimte

Dit is een reactie op vraag 53098

Hoi Oscar,

Het laatste deel is inderdaad op jouw manier veel eenvoudiger.Maar er moet toch staan
int (1/log((1+1/r))^2 * (1/r*(1+r))^2 dr
en niet
int r * (1/log((1+1/r))^2 * (1/(1+r))^2 dr ?

Ik wil ook heel graag die andere redenering ook begrijpen.Ik begrijp dat

(5) int[h(u)*k(u)]du , u loopt van u=1 tot oneindig

met h(u)=1/[u+1/u] en k(u)=1/[log((1+u)^2)]

wordt begrensd door

(6) int[1/[u*(log(u))^2]]du, u=1....oneindig

en dat

(7) 1/[u*(log(u))^2]]=(d/dt)[-1/log(u)]

maar als ik [-1/log(u)] bereken voor u=1 naar oneindig, dan krijg ik het volgende:

Ik bereken [-1/log(u)] voor t=1 en t=0, en dan neem ik de limiet voor t naar oneindig, maar dan komt er oneidig uit mijn integraal.

Groetjes,

Viky
viky
Student hbo - donderdag 22 november 2007

Antwoord

Dag Vicky,

Om te beginnen zie ik dat ik inderdaad een fout heb gemaakt:
(p/px)(u) = (p/px) log(log(1+1/|x|))
=( 1/log(1+1/|x|) ) * ( 1/(1+1/|x|) ) * ( 1/|x|^2 ) * ( x / |x| )
=( 1/log(1+1/|x|) ) * ( 1/|x|(1+|x|) ) * ( x / |x| )
Ik krijg dus een inderdaad een factor r^2 minder in mijn integraal. Dan convergeert hij niet meer. Dat is lastig.

Maar jouw aanpak aan het einde is ook niet correct: Je begrenst k(u)=1/[log((1+u)^2) met 1/log(u)^2. Dat is niet verstandig want voor u naar 1 gaat het dit naar oneindig terwijl k zelf gewoon eindig blijft. Het resultaat dat je krijgt is gewoon integreerbaar int(1/(u*log(u)^2))du = [-1/log(u)]=-1/log(oneindig)+1/log(1)=-0+1/0=oneindig. Je integraal bestaat dus wel maar is niet begrensd.

Ik denk dat een combinatie nodig is. Jouw aanpakt werkt voor r in de buurt van 0, en die van mij in de buurt van r=1. Dus hak je de integraal in twee stukken. De integraal voor r van 1/2 tot 1 is begrensd met mijn (simpele) aanpak. Voor r van 0 tot 1/2 is jouw subtielere aanpak nodig. Je krijgt dan u van 2 tot oneindig en dan is je uiteindelijke integraal -1/log(oneindig)+1/log(2)=1/log(2) en dus wel begrensd.

Groet. Oscar.

PS: maar ik zie nog steeds niet hoe jij komt op:
int (1/log((1+1/r))^2 * (1/r*(1+r))^2 dr
Wat doe je met die laatste factor (x/|x|) uit (p/px)?. En/of: wat bedoel je nu precies met |x| en hoe komt dat in de integraal terecht?

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 22 november 2007