WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Diagonaliseerbaarheid

Beste,

Na het deels uitwerken van een oefening kom ik tot volgende matrixrepresentatie van een lineaire transformatie:

( 0 0 1 0 )
( -1 0 0 1 )
( 0 0 0 0 )
( 0 0 -1 0 )

Gevraag is om hiervan de eigenwaarden te zoeken, eigenvectoren en na te gaan of deze afbeelding al dan niet diagonaliseerbaar is.

Wanneer ik de karakteristieke veelterm uitwerk kom ik tot:

lambda⁴=0.

Ik heb dus één eigenwaarde namelijk nul.
Hier heb ik al een probleem aangezien ik niet weet of het
nulpunt nul dubbel geteld wordt. Ik vermoed dat de algebraische multipliciteit slechts 1 is.

Ik bereken de eigenruimte en bekom één eigenvector namelijk
(0 1)
(0 0)

De meetkundige multipliciteit hiervan is 1.
Algebraische = meetkundige = Diagonaliseerbaarheid.

Is dit correct wat ik hierboven noteer?
Als laatste ben ik nog opzoek naar uitgewerkte oefeningen
omtrent lineaire afbeelding (vooral de corecte wiskundige notaties). Moest iemand mij hier toevallig kunnen met helpen.
Alvast dank,

Pieter
Pieter
Student Hoger Onderwijs België - zaterdag 2 juni 2007

Antwoord

Beste Pieter,

Er is inderdaad maar één eigenwaarde, namelijk 0. Deze is viervoudig, waarom denk je dat de algebraïsche multipliciteit (am) 1 is? De som van de algebraïsche multipliciteiten moet gelijk zijn aan de dimensie van je matrix. Aangezien hier maar één eigenwaarde is, heb je dus sowieso am = 4. Maar je ziet het in je karakteristieke vergelijking, de macht is 4.

Normaal gezien hoor je bij deze eigenwaarde, twee lineair onafhankelijke eigenvectoren te vinden. De meetkundige multipliciteit (mm) is dus 2, dit is de dimensie van de eigenruimte horend bij de eigenwaarde 0. Dus je hebt am mm, de matrix is niet diagonaliseerbaar.

Om diagonaliseerbaar te zijn, moet je evenveel lineair onafhankelijke eigenvectoren hebben als de dimensie van je matrix. Dus ook: de mm moet voor elke eigenwaarde gelijk zijn aan de am.

mvg,
Tom

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 2 juni 2007

Re: Diagonaliseerbaarheid