WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Limiet voor x -> 0

wanneer je lim x$\to$0 (³$\sqrt{ }$1+x - ³$\sqrt{ }$1-x) / x uitwerkt, komt er 0 in de noemer te staan. Hoe werk ik die weg? want de limiet is 0/0 (onbepaald) en volgens mijn theorie moet je dan met de regel van horner iets gemeenschappelijk in de teller en noemer kunnen schrappen.
kunnen jullie me voort helpen?
nining
3de graad ASO - maandag 25 december 2006

Antwoord

Wanneer je een verschil van wortels hebt en dat geeft problemen in de limiet (zoals hier de onbepaaldheid 0/0), is het altijd een goed idee om teller en noemer te vermenigvuldigen met wat dan genoemd wordt 'de toegevoegde veelterm'. Het houdt in dat je een merkwaardig product gebruikt om de wortelproblemen weg te werken.

Hier: je teller is van de vorm a-b waarbij a en b derdemachtswortels zijn. Dus a³ en b³ zouden geen problemen opleveren. Vandaar dat je moet denken aan een merkwaardig product waarin a-b voorkomt (want dat staat in de opgave) en waarin ook a³ en b³ voorkomen. Dat is dus
a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²).

Je moet dus teller en noemer vermenigvuldigen met a²+ab+b², zodat je teller a³-b³=(1+x)-(1-x)=2x wordt. Je krijgt
lim 2x/(x*((1+x)^(2/3)+((1+x)(1-x))^(1/3)+(1-x)^(2/3)))

Je kan de factor x (die voor de onbepaaldheid zorgde) nu schrappen in teller en noemer, waarna je gewoon x=0 kan invullen en je een getal krijgt ipv een onbepaaldheid. Het komt uit op 2/3. Denk eraan dat je bij zulke limieten altijd eenvoudig je antwoord kan nagaan: vul in je opgave een waarde in die dicht bij je limietgetal (hier nul) ligt, dus bijvoorbeeld vul x=0.001 in, dan krijg je 0,6666667901235171468144083996844 wat dus inderdaad heel dicht bij de uitkomst 2/3 ligt.

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 25 december 2006