WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Methode van onbepaalde coefficienten bij complexe getallen

gegeven: a,b,c,d (j=complex getal)
gevraagd: zoek a en b uit de vergelijking
a+jb=[(a+bj)(c+jd)]^(1/2)

mijn uitwerking:
Het rechterlid heb ik uitgewerkt [(ac-bd) +(ad+bc)j)]^(1/2)
Indien de wortel in het rechterlid er niet zou staan, dan zou je de methode van de onbepaalde coefficienten kunnen toepassen en a gelijkstellen aan (ac-bd) en b aan (ad+bc) en dan hieruit de gevraagde a en b berekenen.

Ik zit echter vast bij die wortel. Als je deze overbrengt naar het linkerlid dan kwadrateer je het complexe getal a+bj. Na uitwerking krijg je dan een stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden, maar dat is een niet lineair stelsel en volgens de leerkracht was het niet de bedoeling om het zo ingewikkeld te maken.

Kan iemand mij hierbij helpen?
Alvast reuze bedankt!

Michelle
Michel
3de graad ASO - zondag 17 december 2006

Antwoord

Dag Michelle,

Jouw methode lijkt mij anders wel correct en ook nog wel doenbaar: je komt dan uit op a²-b²=... en 2ab=...

Uit de tweede gelijkheid haal je b=.../a, dat vul je in in de eerste gelijkheid. Dan vermenigvuldig je die vergelijking met a², en je krijgt een zogeheten bikwadratische vergelijking, dus een vergelijking van de vorm Aa⁴+Ba²+C=0. Die kan je oplossen door bijvoorbeeld z=a² te stellen, dan herken je een kwadratische vergelijking in z en je hebt je oplossing.

Dat is de klassieke manier om de vierkantswortel uit een complex getal x+yj te bepalen (ik zou je trouwens aanraden om x=ac-bd te stellen en y=ad+bc en pas op het einde deze x en y opnieuw te vervangen, dat zal de notatie wat lichter maken).

Nu weet ik niet of de opgave letterlijk was zoals je ze gegeven hebt, ofwel dat de opgave is 'bepaal de vierkantswortel uit het product van twee complexe getallen'. Want als het dat laatste is, dan kan je dat handiger op een andere manier:

Ken je de goniometrische of polaire voorstelling van een complex getal? In het algemeen zal de notatie a+bj handig zijn om complexe getallen bij elkaar op te tellen, maar als je bewerkingen doet zoals vermenigvuldigen of worteltrekken, dan is de notatie re^jq handiger.

Als ik je opgave even vertaal naar z=(z₁z₂)^(1/2) (met z₁ en z₂ gegeven en z gevraagd) en je schrijft die complexe getallen in polaire notatie, dan krijg je
re^jq=(r₁e^jq₁ r₂e^jq₂)^(1/2)

Dus re^jq=(r₁r₂e^j(q₁+q₂))^(1/2)
= (r₁r₂)^(1/2) e^{j(q₁+q₂)/2}

Dit geeft je r=(r₁r₂)^(1/2) en q=(q₁+q₂)/2.

En dan is feitelijk de oefening opgelost: je hebt je onbekende complex getal bepaald. Wil je de oplossing nog vertalen naar het oorspronkelijke probleem, dan moet je de transformatieformules gebruiken die de overgang weergeven tussen de cartesiaanse (a+bj) en de polaire notatie (re^jq):

r = Ö(a²+b²)
tan(q) = b/a
(hier wel opletten: q ligt ergens tussen 0 en 2p dus afhankelijk van de tekens van a en b heb je q=bgtan(b/a) of q=bgtan(b/a)+p)

a = r cos(q)
b = r sin(q)

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 17 december 2006