WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Formule inhoud bol afleiden

In een oefentoets kreeg ik de volgende vraag:

Leid de formule af voor berekening van de inhoud van een bol, als de straal = R en als bekend is dat de oppervlakte van een cirkel met straal a gelijk is aan p a2

ik kom hier niet uit, want ik weet niet waar ik moet beginnen. het lijkt me dat er mbv integreren iets op gevonden moet worden. door eerst formule van een schijf van de bol te herleiden en vervolgens die van de hele bol.
is er iemand die me helder en duidelijk kan uitleggen welke stappen ik moet nemen om tot het goede antwoord moet komen?
alvast bedankt!
harmen
Student hbo - dinsdag 20 juni 2006

Antwoord

Beste Harmen,

Je kan inderdaad de bol verdelen in schijven en dan al die schijven optellen om de inhoud van de bol te krijgen. Beschouwen we bijvoorbeeld schijven loodrecht op de x-as, dus evenwijdig met het yz-vlak. Die schijven beginnen bij x = -R (daar is de oppervlakte van de 'schijf' nog 0 natuurlijk) en gaat tot x = R. De schijven hebben echter geen constante oppervlakte, deze stijgt van x = -R tot x = 0 (daar is deze maximaal met straal R) en daalt dan weer tot x = R.

De oppervlakte van een schijf met straal r is $\pi$r², met r afhankelijk van x, dus r(x). Je zoekt nu hoe r verandert in functie van x. Beschouw de bovenste halve cirkel in het xy-vlak, op z = 0. Dat is eigenlijk de 'rand' van de opeenvolgende schijven en heeft als vergelijking √(R²-x²). Maar we zoeken voor de oppervlakte toch het kwadraat van de straal, dus die oppervlakte van elke schijf op positie x = r geeft: √(R²-x²).

Nu mag jij het afmaken, deze oppervlakte van schijven moet je nu over de x-as allemaal 'optellen' (dus integreren), van x = -R tot x = R. Als het goed is vind je dan inderdaad het volume van een bol, namelijk 4$\pi$r³/3. Maak een tekening als de bovenstaande uitleg niet direct duidelijk is.

mvg,
Tom

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 21 juni 2006