De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Oppervlakte maximaliseren van driehoek

Stel je hebt een (willekeurig) parallellogram ABCD. Bewijs dan dat de basis maal de hoogte van het parallellogram steeds groter of gelijk is dan een (willekeurig) gekozen basis maal hoogte van een driehoek PQR met hoekpunten op de zijden van het parallellogram.
M.a.w. bewijs dat:
BasisPQR · HoogtePQR BasisABCD · HoogteABCD.

Bedankt alvast.

JP
Student universiteit België - vrijdag 14 april 2006

Antwoord

Beste JP,

Als alledrie hoekpunten P, Q en R samenvallen met hoekpunten van ABCD, dan is duidelijk voldaan aan het gelijkteken in jouw ongelijkheid.
We bekijken dus gevallen waarin P niet samenvalt met een hoekpunt. We nemen P vast vast op een zijde, zeg CD.

Zonder de algemeenheid te kunnen we ervan uitgaan dat Q op een zijde ligt die CD snijdt(immers, altijd ligt of Q of R op een zijde die de zijde snijdt die P bevat), zeg dat Q op AD ligt.

Do-------oP----------oC
\ \
oQ \
Ao-------------------oB

Als Q nu op D komt te liggen, dan zien we dat de maximale oppervlakte wordt bereikt als R ergens op AB ligt - en dan zie je meteen dat voldaan is aan het -teken in de ongelijkheid.
We gaan dus uit van Q niet samenvallend met punt D.
Om nu het derde punt R van de driehoek zo te kiezen dat de oppervlakte maximaal wordt, zoeken we de maximale hoogte bij basis PQ die we kunnen vinden. Dat is als R samenvalt met het punt B.

Do-------oP----------oC
\ \
oQ \
Ao-------------------oB=R

Bij de vaste P en deze keuze voor R kunnen we nog kijken welke keuze van Q nu de grootste oppervlakte had opgeleverd. De grootste hoogte bij basis PR wordt gevonden als Q samenvalt met A. Maar dan voldoet PQR weer aan het =-teken in de ongelijkheid.
Door de hele opzet van het verhaal zien we dat voor alle andere keuzes voor Q en R het -teken geldt.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 16 april 2006



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3