De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Nulniveau

Schets het nulniveau van volgende functie en bepaal waar de functie positief en negatief is.

f(x,y) = (ex - 1)·(x2 + y2 - 1)

In onze cursus wiskunde staat nogal weinig informatie over niveaukrommen en al helemaal geen voorbeeldoefening. Op het examen (dat we binnen enkele dagen hebben) wordt zo'n oefening af en toe wel eens gevraagd.
Ik heb namelijk geen idee hoe ik zo'n nulkromme moet tekenen en al helemaal niet waar de funtie positief en negatief is. (en wat als je bv een tweeniveau moet schetsen ?)

Daarom zou ik willen vragen of iemand me hiermee kan helpen, zodat ik op het examen niet met men mond vol tanden sta.

Alvast bedankt.

Stef
Student universiteit België - zondag 22 januari 2006

Antwoord

Beste Stef,

Voor een functie z = f(x,y) kunnen we op elke hoogte k een niveaukromme bekijken, deze heeft dan als vergelijking f(x,y) = k. De oorspronkelijke functie is dus driedimensionaal, maar we snijden de functie met een vlak evenwijdig met het xy-vlak op een zekere hoogte k, dus met het vlak z = k. Je krijgt dan een grafiek die je gewoon tweedimensionaal kan voorstellen (in een xy-vlak).

In jouw voorbeeld vragen ze hoe de niveaukromme er uit ziet op z = 0, de vergelijking wordt dan:

(ex-1)(x2+y2-1) = 0

Je hebt geluk, de functie is links al ontbonden in factoren en een product is gelijk aan 0 als een van de factoren 0 is, het probleem splitst zich dus op in twee delen:

ex-1 = 0 Ú x2+y2-1 = 0
ex = 1 Ú x2+y2 = 1

Dat eerste kan natuurlijk alleen als x = 0 (dus de volledige y-as is dan een oplossing) en het tweede is precies de vergelijking van een cirkel met middelpunt (0,0) en straal 1. Dit kan je samen makkelijk schetsen, dat is dan je niveaukromme en geeft aan waar de 3D-grafiek het vlak z = 0 snijdt.

Uiteraard kan het teken niet wisselen zonder dat je ergens dit vlak snijdt, dus om de tekens te bepalen hoef je alleen de tekens te weten in de verschillende gebieden die nu begrensd zijn geworden. Dit zijn twee halve cirkels (want de y-as was ook een oplossing, deze deelt de cirkel in twee) en de twee gebieden buiten die halve cirkels. Neem bijvoorbeeld uit elk gebied een willekeurig punt (maak het je makkelijk) en vul deze in de vergelijking, dan heb je het teken in dat volledige gebied.

Als je de niveaukromme wilt weten op z = 2 dan moet je f(x,y) gewoon gelijkstellen aan 2, dan heb je al de vergelijking. Deze oplossen of gemakkelijk interpreteren voor een schets zoals hierboven het geval was zal (in het algemeen) niet gaan, omdat je nu geen mooie ontbinding in factoren meer hebt waarbij het andere lid 0 is.

mvg,
Tom

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 22 januari 2006



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3